Изоморфные ряды подгрупп

[Felt]

В учебнике по теории групп представлен такой пример изоморфных рядов подгрупп:
$1 \leq \mathbb C_2 \leq \mathbb C_4 \leq \mathbb C_{12}$
и
$1 \leq \mathbb C_3 \leq \mathbb C_6 \leq \mathbb C_{12}$

Но как они могут быть изоморфными, если хотя бы $\mathbb C_2$ не изоморфна с $\mathbb C_3$

P. S. здесь $\mathbb C_n$ - группа корней уравнения $x^n-1$

[ИСН]

Что такое изоморфный ряд подгрупп, во-первых?
И во-вторых, что в Вашем учебнике означает символ $\leq$ применительно к группам?

-- менее минуты назад --

У меня появилась одна гипотеза, но Вы всё-таки поясните сначала.

[Felt]

Изоморфные ряды это такие (суб)нормальные ряды, которые имеют одинаковое количество секций и фактор-группы у соответствующих секций изоморфны. В данном случае первые фактор-группы в обоих рядах
$\mathbb C_2/1=\mathbb C_2$ и $\mathbb C_3/1=\mathbb C_3$

символ - просто подгруппы.

[ИСН]

Хм. А что же они... Ну то есть да, подгруппы такие есть, всё как написано. Ну, вот два ряда. Ну, секций вроде поровну.
Может, имелось в виду, что они друг другу изоморфны задом наперёд? Нет, это хрень какая-то.

[VAL]

Felt в сообщении #924958 писал(а):

В учебнике по теории групп представлен такой пример изоморфных рядов подгрупп:
$1 \leq \mathbb C_2 \leq \mathbb C_4 \leq \mathbb C_{12}$
и
$1 \leq \mathbb C_3 \leq \mathbb C_6 \leq \mathbb C_{12}$

Но как они могут быть изоморфными, если хотя бы $\mathbb C_2$ не изоморфна с $\mathbb C_3$

Внимательнее читайте определение изоморфных рядов.
Там не сказано, что изоморфные факторы должны стоять на одних и тех же местах. Иначе ряды бы просто совпадали.

[AV_77]

VAL в сообщении #925019 писал(а):

Иначе ряды бы просто совпадали.

Чего это вдруг?

[VAL]

AV_77 в сообщении #925053 писал(а):

VAL в сообщении #925019 писал(а):

Иначе ряды бы просто совпадали.

Чего это вдруг?

Ну, по крайней мере, для $\mathbb C_n$.

[Felt]

Спасибо, прочитал опредление в другом месте - в первом учебнике оно было действительно невнятным и нестрогим и понять его можно было двояко

[Felt]

Всё равно мне остается не совсем понятным определение изоморфности рядов... Не могли бы его сюда написать? С разбором моего примера двух изоморфных рядов, какие фактор-группы изоморфны каким

[AV_77]

Felt в сообщении #925174 писал(а):

С разбором моего примера двух изоморфных рядов, какие фактор-группы изоморфны каким

Например, так
$C_{12} / C_4 \simeq C_3 / \{1\}$
$C_4 / C_2 \simeq C_{12} / C_6$
$C_2 / \{1\} \simeq C_6 / C_3$

[Felt]

AV_77 в сообщении #925176 писал(а):

Felt в сообщении #925174 писал(а):

С разбором моего примера двух изоморфных рядов, какие фактор-группы изоморфны каким

Например, так
$C_{12} / C_4 \simeq C_3 / \{1\}$
$C_4 / C_2 \simeq C_{12} / C_6$
$C_2 / \{1\} \simeq C_6 / C_3$

Спасибо.

Такие соотвествия мне тоже приходили в голову. Но как формально записать определение? В другом учебнике я наткнулся на такое:

Два ряда(ряды записаны по "убыванию") $G=(G_0, G_1,...,G_n)$ и $H=(H_0, H_1,...,H_m)$ называются изоморфными, если $n=m$ и существует такая перестановка $\pi \in S_n$, что $G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i)-1}/H_{\pi (i)}$

Как мне показалось это определение неправильно, потому что в данной перестановке всегда будет(если это перестановка не идентичная) такой элемент $i$, что $\pi (i) < \pi (i)+1$ и для $j$ такого, что $\pi (j)=\pi (i)+1$ фактор-группа $G_{j-1}/G_j$ явно не будет изоморфна $H_{\pi (j)-1}/H_{\pi (j)}$

[ИСН]

$\pi (i) < \pi (i)+1$ всегда. Какую это имеет ценность и какое отношение к последующему, я не понял. Но определение с перестановкой теперь делает смысл: неважно, в каком порядке идут факторы, лишь бы они были одни и те же. Ну вот у Вас так и есть.

[Felt]

ИСН в сообщении #925192 писал(а):

$\pi (i) < \pi (i)+1$ всегда. Какую это имеет ценность и какое отношение к последующему, я не понял. Но определение с перестановкой теперь делает смысл: неважно, в каком порядке идут факторы, лишь бы они были одни и те же. Ну вот у Вас так и есть.

Да, глупость сказал.
Но факторы не одни и те же, в определении сказано не $G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i-1)}/H_{\pi (i)}$, а $G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i)-1}/H_{\pi (i)}$. Но там, возможно, ошибка

[AV_77]

Felt в сообщении #925202 писал(а):

$G_{i-1}/G_i \simeq H_{\pi (i-1)}/H_{\pi (i)}$

Вот как раз так будет неправильно, а в определении все верно.

Пусть, для примера, имеем два ряда $G_0 < G_1 < G_2 < G_3$ и $H_0 < H_1 < H_2 < H_3$, а подстановка $\pi = (1, 2)(3, 4)$. Тогда
$G_1 / G_0 \to H_{\pi(1)} / H_{\pi(1) - 1} = H_2 / H_1$
$G_2 / G_1 \to H_{\pi(2)} / H_{\pi(2) - 1} = H_1 / H_0$
$G_3 / G_2 \to H_{\pi(3)} / H_{\pi(3) - 1} = H_4 / H_3$
$G_4 / G_3 \to H_{\pi(4)} / H_{\pi(4) - 1} = H_3 / H_2$

[Felt]

Но не проще ли тогда перестановки делать в ряде факторов, а не ряде подгрупп?