Представление липшицевой функции

[demolishka]

Дана липшицева функция $x :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, то есть: $|x(s)-x(t)| \leq C|s-t|$ для некоторого $C \geq 0$ и любых $s,t \in \mathbb{R}$. Нужно показать, что найдется такая $y(t) \in L^{\infty}(\mathbb{R})$, что $x(t) = x(0) + \int_{0}^{t}y(s)ds $, для всех $t \in \mathbb{R}.$

Идеи:
Пусть $t \in \mathbb{R}$ рассмотрим последовательность функционалов $f_{n}(x) = n(x(t+\frac{1}{n}) - x(t))$. Видно, что $\|f\| \leq C.$ По теореме Банаха-Алаоглу, шар является компактом в слабой* топологии, следовательно, можно выделить слабо* сходящуюся подпоследовательность $f_{n_{k}}$
Положим $y(t) = \lim\limits_{k \to+\infty}f_{n_{k}}(x)$.

$$\int_{0}^{t}y(s)ds = \int_{0}^{t}[\lim\limits_{k \to +\infty} n_{k}(x(t+\frac{1}{n_{k}}) - x(t))]dt =^{?} \lim\limits_{k \to +\infty}\int_{0}^{t}[n_{k}(x(t+\frac{1}{n_{k}}) - x(t))]dt$$

$$\int_{0}^{t}[n_{k}(x(t+\frac{1}{n_{k}}) - x(t))]dt = n_{k}(\int_{\frac{1}{n_{k}}}^{t+\frac{1}{n_{k}}}x(t)dt - \int_{0}^{t}x(t)dt) = n_{k}(\int_{t}^{t+\frac{1}{n_{k}}}x(t)dt - \int_{0}^{\frac{1}{n_{k}}}x(t)dt)$$

$$n_{k}(\int_{t}^{t+\frac{1}{n_{k}}}x(t)dt - \int_{0}^{\frac{1}{n_{k}}}x(t)dt) = n_{k}(\frac{x(\xi)}{n_k} - \frac{x(\tau)}{n_k}) = x(\xi) - x(\tau) \to x(t) - x(0)$$

Проблемы следующие: $n_{k}$ на самом деле зависят от точки $s$ и перестановка предела с интегралом.

[demolishka]

Из википедии узнал, что моя задача это частный случай теоремы Радемахера. Но во всех найденных источниках она доказывается с помощью несколько другой науки. Надеюсь все-таки кто-нибудь поможет разобраться.

[sup]

В сущности, у Вас уже есть все что надо. Но, как мне кажется, лучше действовать немного по-другому.
Пусть $\varphi(t) \in L_1(R)$ - гладкая финитная функция. Тогда

$\int f_n(t)\varphi(t)dt = -\int x(t)\frac{\varphi(t) - \varphi(t-1/n)}{1/n}dt$
Переходим к пределу по подпоследовательности и получаем

$\int y(t)\varphi(t)dt = -\int x(t)\varphi '(t)dt$
Ну а теперь устремляем $\varphi(t)$ к ступеньке - индикатору отрезка $(0,T)$. В пределе получим
$\int \limits_0^Ty(t)dt = x(T) - x(0)$

Осталось только строго обосновать все предельные переходы.
P.S. Немножко поправил формулы.

[demolishka]

sup в сообщении #924691 писал(а):

$\int f_n(t)\varphi(t)dt = -\int x(t)\frac{\varphi(t) - \varphi(t-1/n)}{1/n}dt$

Что-то непонятно это равенство. Возможно вы имели ввиду $-\int \varphi(t)\frac{x(t) - x(t+1/n)}{1/n}dt .$
Так или иначе меня все еще мучает вопрос: что позволяет нам переходить к пределу по подпоследовательности под интегралом, если для каждой точки эта подпоследовательность - разная?

[sup]

demolishka в сообщении #924770 писал(а):

Что-то непонятно это равенство. Возможно вы имели ввиду $-\int \varphi(t)\frac{x(t) - x(t+1/n)}{1/n}dt .$

Да что-ж тут непонятного. С помощью замены переменных покажите, что

$$\int (f(t+ \delta) - f(t))g(t)dt = \int f(t)(g(t- \delta) - g(t))dt $$

А вот насчет

demolishka в сообщении #924770 писал(а):

для каждой точки эта подпоследовательность - разная

- это я сразу то и не понял. Встречный вопрос. А Вы к какому объекту применяете т. Банаха-Алаоглу? К последовательности функций или к числовой последовательности (много раз)?

[demolishka]

sup в сообщении #924799 писал(а):

demolishka в сообщении #924770 писал(а):

Что-то непонятно это равенство. Возможно вы имели ввиду $-\int \varphi(t)\frac{x(t) - x(t+1/n)}{1/n}dt .$

А вот насчет

demolishka в сообщении #924770 писал(а):

для каждой точки эта подпоследовательность - разная

- это я сразу то и не понял. Встречный вопрос. А Вы к какому объекту применяете т. Банаха-Алаоглу? К последовательности функций или к числовой последовательности (много раз)?

Я применяю теорему Банаха-Алаоглу к числовой последовательности $f_n(x)$ ($t$ - фиксированно) много раз. То есть, для фиксированного $t$ рассматриваю $f_n(x)$ как последовательность линейных функционалов над $C(\mathbb{R})$. Я понимаю, что это конечно не совсем то, что нужно, но если рассматривать последовательность $f_n(t)=\frac{x(t+\frac{1}{n})-x(t)}{1/n}$(x - фиксированная липшицева функция из задачи) как последовательность функционалов над $\mathbb{R}$, то получается, что $f_n(t)$ - не линейные функционалы, следовательно не лежат в сопряженном пространстве и непонятно как к ним применять теорему Банаха-Алаоглу.

[sup]

Применять т. Банаха-Алаоглу к числовой последовательности - это заколачивать микроскопом гвозди. К тому же, а причем тут *-слабая сходимость? Другое дело, если Вы возьмете последовательность функций $f_n(t) = n(x(t+ 1/n) - x(t))$. По условию, $f_n(t) \in L_{\infty}(R)$.
Каждая такая функция порождает линейный функционал над $L_1(R)$. Далее надо использовать тот факт, что $(L_1(R))^* = L_{\infty}(R)$. Вот здесь и надо применять теорему Банаха-Алаоглу.

[demolishka]

sup в сообщении #924840 писал(а):

Далее надо использовать тот факт, что $(L_1(R))^* = L_{\infty}(R)$.

Совсем забыл про этот факт. Большое спасибо за помощь.