Что-то непонятно это равенство. Возможно вы имели ввиду
А вот насчет
для каждой точки эта подпоследовательность - разная
- это я сразу то и не понял. Встречный вопрос. А Вы к какому объекту применяете т. Банаха-Алаоглу? К последовательности функций или к числовой последовательности (много раз)?
Я применяю теорему Банаха-Алаоглу к числовой последовательности

(

- фиксированно) много раз. То есть, для фиксированного

рассматриваю

как последовательность линейных функционалов над

. Я понимаю, что это конечно не совсем то, что нужно, но если рассматривать последовательность

(x - фиксированная липшицева функция из задачи) как последовательность функционалов над

, то получается, что

- не линейные функционалы, следовательно не лежат в сопряженном пространстве и непонятно как к ним применять теорему Банаха-Алаоглу.