Неравенство

[Dmitry Tkachenko]

Найти такое наибольшее $k\in \mathbb{R},$ что $\forall n \in \mathbb{N}, x_i>0, 1\le i\le n,$ выполняется неравенство:

$$\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \ge k \min\limits_{1\le i\le n} |x_i-x_{i+1}|.$$

Будем считать, что $i_{n+1}=i_1.$

[Cash]

Я может чего-то не понял. Но взяв $n=2$ и одну переменную устремив к нулю, получим, что $k \leqslant 1$. При $k=1$ неравенство очевидно выполнено.

[Dmitry Tkachenko]

Прошу прощения, $x_i \in \mathbb{R}.$

Cash, а при $x_1=3, x_2=4$ наибольшее $k$ уже будет $5.$ То есть общее уже будет наибольшее среди 5 и 1, то есть 5. В общем, нужно найти общее $k$ для всех $x_i$ и $n.$

[Cash]

Вы о чем?

[Dmitry Tkachenko]

Cash, необходимо найти наибольшее $k,$ но оно же должно быть общим во всех случаях. Например, для четных $n$ можно взять $k=\sqrt{n}/2.$ Тогда, какие бы мы $x$ не взяли, неравенство выполняется.

[Cash]

Вы определитесь: $k$ нужно найти для всех $n$ или для каждого?
Я решал ту задачу, что написана в стартовом посте. Если решили поменять правила по ходу игры - ваше право, но проговаривайте их тогда четко.

[Dmitry Tkachenko]

Cash, найти наибольшее $k,$ которое подошло бы для всех $n$ и при любых $x_i.$

Вы говорите:

Cash в сообщении #923279 писал(а):

взяв $n=2$ и одну переменную устремив к нулю, получим, что $k \leqslant 1$. При $k=1$ неравенство очевидно выполнено.

А если $x_1=3, x_2=4,$ то наибольшее $k$ явно не равно 1, а если другие иксы брать!
Нужно чтобы, какие бы мы иксы не брали и сколько бы их не было, $k$ было одно и неравенство выполнялось, причем $k$ должно быть наибольшим.

Так более понятно? Прошу прощения, если исходная формулировка оказалась не корректной.

[ИСН]

У Вас логический заскок. Наибольшее $k$ для всех иксов - это наименьшее из наибольших $k$ для конкретных иксов.

[Dmitry Tkachenko]

ИСН, для каждого $n$ найти наибольшее $k,$ что для любых $x_i$ выполнено то неравенство.

-- 06.11.2014, 15:05 --

Dmitry Tkachenko в сообщении #923956 писал(а):

$x_i \in \mathbb{R}.$

[Cash]

(Оффтоп)

О, наконец-то дождались осмысленного условия

[ddn]

Нужно взять $x_i = (i - \frac{n+1}{2}) \delta$, где $\delta = \min\limits_{1\le i\le n} |x_i-x_{i+1}|$.
Тогда $k_n = \frac{\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}}{\delta} = \sqrt{\frac{n^3-n}{12}}$.

Случай $n=1$ вырожденый, так как берем $x_1=0$ и $\delta = |x_1-x_2| = 0$, получаем $k_1 = \frac{0}{0}$.

$k = \min\limits_{n \ge 2} \sqrt{\frac{n^3-n}{12}} = k_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

[ddn]

Я наврал. Это верно, если числа упорядочены.

Иначе $x_i = \frac{(-1)^i}{2} \delta$ для четных $n$ и $k_n = \frac{\sqrt{n}}{2}$ как здесь уже решено.

Для нечетных $n \ge 3$ в силу замкнутой цепочки чуть сложнее.
$x_n = -\delta$, $x_1 = 0$ $x_2 = \delta$ и $x_i = \frac{(-1)^i}{2} \delta$ при $3 \ge i \ge n-1$.
$k_n = \sqrt{2+(n-3)\frac{1}{4}}} = \frac{\sqrt{n+5}}{2}$.

$k = \min\limits_{n \ge 2} k_n = \min(k_2, k_3) = \min(\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

[Evgenjy]

ddn в сообщении #927706 писал(а):

$x_i = \frac{(-1)^i}{2} \delta$

В условии задачи

Dmitry Tkachenko в сообщении #923245 писал(а):

$ x_i>0$

Надо брать арифметическую прогрессию начиная с $x_1=0$ и использовать формулу суммы квадратов натуральных чисел (в данном случае до $n-1$).

[Dmitry Tkachenko]

Evgenjy, нет, у ddn всё правильно. Я ниже потом написал:

Dmitry Tkachenko в сообщении #923956 писал(а):

Прошу прощения, $x_i \in \mathbb{R}.$