Флуд из http://dxdy.ru/topic89014.html

[Апис]

Вопрос, можно ли всегда оплатить обед монетками в 1,2,5евро центов,
используя простое количество или ноль монет каждого вида???

Любое простое количество монет достоинством в 1,2,5евро центов, можно выразить через три ряда. Три ряда состоящие из чисел p, 2p, 5p. P – Простые числа
Если взять любой интервал $\left( {{p_n},{p_{n + 1}}} \right)$ . Сколько чисел, следующих за простым числом $\[{{p_n}}\]$ , будут удовлетворять изначальному условию?
Условию, что число можно представить в виде суммы чисел. Чисел состоящих из простого количество или ноль вида 1,2,5.
Такой подход сужает поиск до интервала $\left( {{p_n},{p_{n + 1}}} \right)$ . Например: Возьмём любое число $\[{{p_n}}\]$ . Число $\[{{p_n} + 2}\]$ подходит под изначальное условие. И так будет на всех интервалах .
Это конечно не решение проблемы, но всё же.

[Апис]

Если рассматривать два соседних интервала $\begin{array}{l} ({p_n},{p_{n + 1}}) \\ ({p_{n + 1}},{p_{n + 2}}) \\ \end{array}$
То пробел на первом интервале равный четырём, даёт на втором интервале число ${p_{n + 1}} + 1$ нужного нам свойства. ${p_n} + 5 = {p_{n + 1}} + 1$
Вопрос, можно ли взять несколько подряд интервалов, и комбинацию из сумм чисел 2,5 используя простое количество или ноль этих чисел и для каждого числа на интервале, доказать нужное нам свойство.

[hurtsy]

Апис в сообщении #924326 писал(а):

для каждого числа на интервале, доказать нужное нам свойство

Все же длина интервала может быть равной произвольно большому четному числу. И тут следует учитывать предупреждение

Red_Herring в сообщении #923991 писал(а):

не следует ли ожидать что задача потеряет актуальность?

С уважением,

[Апис]

Вопрос, можно ли всегда оплатить обед монетками в 1,2,5евро центов,
используя простое количество или ноль монет каждого вида???

Любое простое количество монет достоинством в 1,2,5евро центов, можно выразить через три ряда. Три ряда состоящие из чисел p, 2p, 5p.
P – Простые числа
На интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ количество простых чисел (p) равно $\[\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
На интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ количество чисел (2p) равно $\[\frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{2}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
На интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ количество чисел (5p) равно $\[\frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{5}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
Сложим эти количества и вычтем количество повторов $\[\frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{{10}}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
Получим:$\[\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + \frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{2}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + \frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{5}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{{10}}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
$\[1,6\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

Найдём количество сумм на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$
P+2p/+5p//=
P+2p/=
P+5p\=
2p/+5p//=
Я начал расписывать формулы по суммам, но получается громоздко, да и пришёл к выводу, что это не обязательно. Точное значение коэффициента (k)
$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
для доказательства не нужно. Если при относительно малых значениях (n)
$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} > \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\]$
То с ростом значения (n) неравенство будет иметь вид
$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\]$
и это будет вне зависимости от величины коэффициента (k).
Вывод:
Можно сказать, что есть такое значения (n). Начиная с которого, $\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\]$
А это означает, что на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ будут числа (сиречь стоимости обеда) за которые невозможно оплатить монетками в 1,2,5евро центов, используя простое количество или ноль монет каждого вида.

[Deggial]

Апис в сообщении #926336 писал(а):

Точное значение коэффициента (k)

Какого ещё коэффициента $k$? Ввели термин без определения и рассуждаете неизвестно о чём

Апис в сообщении #926336 писал(а):

2p/+5p//=

Апис в сообщении #926336 писал(а):

p, 2p, 5p

замечание за неоформление формул

[alexo2]

Апис в сообщении #926336 писал(а):

Точное значение коэффициента (k)
$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$
для доказательства не нужно. Если при относительно малых значениях (n)
$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} > \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\]$
То с ростом значения (n) неравенство будет иметь вид
$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\]$
и это будет вне зависимости от величины коэффициента (k).

"Коэффициент" у Вас какой-то "неправильный" - функция-то его негладкая. Вы же рассуждаете о нем как о прямой зависимости..

[Апис]

alexo2 в сообщении #926349 писал(а):

"Коэффициент" у Вас какой-то "неправильный" - функция-то его негладкая. Вы же рассуждаете о нем как о прямой зависимости..

Я вообще то предполагал коэффициент получить, как величину постоянную, изменения результата только за счёт разных размеров интервалов и разных по величине простых чисел. Но дело в том, что для решения вопроса, вычисление коэффициента не понадобилось.

Deggial в сообщении #926344 писал(а):

Какого ещё коэффициента $k$? Ввели термин без определения и рассуждаете неизвестно о чём

Апис в сообщении #926336 писал(а):

$\[k \cdot \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

В предварительном расчёте (k)=1,6 - величина постоянная, не зависимая от размера интервала и величины простого числа, и как коэффициент получен расписано шаг за шагом, вы требуете ещё ему дать определение. Я не очень понял, мне что словами расписать как получил (k)=1,6

[Deggial]

Апис в сообщении #926336 писал(а):

На интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ количество простых чисел (p) равно $\[\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

Подставим $n=2$: $p_n=3, p_{n+1}=5$. Получаем: на интервале $[9;25]$ количество простых чисел равно $(25-9)\frac{1}{2}\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$ - нецелое число, в то время как это количество равно $|\{11;13;17;19;23\}|=5$.
Поздравляю Вас, господин соврамши!

Апис в сообщении #926336 писал(а):

А это означает, что на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ будут числа (сиречь стоимости обеда) за которые невозможно оплатить монетками в 1,2,5евро центов, используя простое количество или ноль монет каждого вида.

И вывод конечно же неверен.

[Апис]

Deggial в сообщении #927152 писал(а):

Подставим $n=2$: $p_n=3, p_{n+1}=5$. Получаем: на интервале $[9;25]$ количество простых чисел равно $(25-9)\frac{1}{2}\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$ - нецелое число, в то время как это количество равно $|\{11;13;17;19;23\}|=5$.
Поздравляю Вас, господин соврамши!

К вопросу погрешности вычисления не буду возвращаться в теме (Е) всё есть. И к тому же положительная погрешность вычисления количества простых на интервале не влияет на конечный результат, неравенство $\[k\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < 1\]$ будет выполняться
Вывод верный.

[Deggial]

Апис в сообщении #928093 писал(а):

К вопросу погрешности вычисления не буду возвращаться в теме (Е) всё есть.

Это дешёвые отмазки. Когда Вы пишете

Апис в сообщении #926336 писал(а):

На интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ количество простых чисел (p) равно $\[\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$

Это не означает "равенство верно с какой-то там погрешностью", это означает точное равенство, в самом формально смысле этого слова. Кроме того, в доказательстве Вы используете именно точное равенство. Так что поздравляю Вас, господин соврамши!

Апис в сообщении #928093 писал(а):

Вывод верный.

Вывод неверный. Он не просто необоснованный, он именно неверный: выведенное высказывание ложно. Вот Вы пишете

Апис в сообщении #926336 писал(а):

А это означает, что на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ будут числа (сиречь стоимости обеда) за которые невозможно оплатить монетками в 1,2,5евро центов, используя простое количество или ноль монет каждого вида.

Это враньё. Вы никогда не найдете таких $n, p_n$, хоть на компьютере их ищите, хоть $k$ своё считайте - это бесполезно, потому что это враньё.

[Апис]

Апис в сообщении #928093 писал(а):

погрешность вычисления количества простых на интервале не влияет на конечный результат, неравенство $\[k\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < 1\]$ будет выполняться.....

[Deggial]

Отделено от темы Задача Мензы