Измерение АЧХ системы. Дискретизация сигналов

[BasilKrzh]

Здравствуйте.
Есть некоторая (электро-оптическая) линейная система, стоит задача измерить её АЧХ (и ФЧХ). Система предположительно прозрачна в исследуемом диапазоне частот. Проводятся измерения с постоянной длиной измеряемого участка сигнала $T = 0.8 \text{ s}$ и разными частотам оцифровки $R \sim 10000 \text{ Hz}$. Для измерения на вход системы подается сигнал $X(t)=a_{0} \sum\limits_{k=0}^{N-1}\cos (2 \pi k \frac{1}{T} + \phi)$ со случайной (равномерно распределённой) фазой, где число гармоник определяется соотношением $N=RT$ (не понимаю, зачем нужны гармоники с частотой выше $\frac{R}{2}$, всё равно мы же не сможем их оцифровать, но такое условие). Тогда измерив сигналы $X(t_0 + \frac{n}{R})=X[n], n=1...N-1$ на входе системы и $Y(t_0+\frac{n}{R})=Y[n], n=1...N-1$ на выходе системы в некоторый моменты времени, для определения передаточной функции можно записать $\widetilde{H}(\frac{n}{R})=\widetilde{H}[n]=\frac{\widetilde{Y}[n]}{\widetilde{X}[n]}$, где Фурье-образы $\widetilde{X}[n]$ и $\widetilde{Y}[n]$ измеренных сигналов были предварительно вычислены с помощью ДПФ. Таким образом, как я понимаю, чем больше частота дискретизации, тем больший кусок АЧХ (которая будет модулем передаточной ф-ии) мы сможем измерить.
Я получил 3 АЧХ для различных частот дискретизации $R_1 = 11025 \text{ Hz},R_2 = 22050 \text{ Hz},R_3 = 44100 \text{ Hz},$:
(сглажено по 500, 1000 и 2000 точкам, соответственно).
Чего я не понимаю, так это осцилляций в верхнем плато АЧХ; при этом если провести странное (во всяком случае, на первый взгляд) преобразование оси абсцисс $x = \frac{f}{R}$, т.е. разделить абсциссу каждой точки на соответствующую частоту дискретизации, мы получим 3 совпадающие кривые:

Я так понимаю, эти осцилляции в верхнем плато - какая-то ошибка обработки, причём масштабирующаяся сообразно количеству точек (ширение измеряемого спектра), но никак не могу понять, в чём соль.
С ФЧХ нисколько не понятнее:

Не соображу как на счёт опять масштабирования сообразно ширине спектра, так и на счёт перекидывания кривой из области отрицательных фаз в область положительных...
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении смотреть

[Евгений Машеров]

Возможно, явление Гиббса. И тогда стоит при расчёте ПФ использовать окна.
Возможно, влияние алиасов от частот, превышающих частоту Найквиста.

[upgrade]

BasilKrzh в сообщении #924299 писал(а):

Таким образом, как я понимаю, чем больше частота дискретизации, тем больший кусок АЧХ (которая будет модулем передаточной ф-ии) мы сможем измерить.

что значит "больший", больше периода $T$?

"Таким образом, при цифровой обработке сигнала короткие (импульсные) сигналы значительно искажаются при недостаточной частоте дискретизации. Особенно это проявляется, когда в сигналах присутствуют острые пики или резкие фронты, которые имеют вид или функций с бескончно широким спектром. Для примера на рис.4.11 показан прямоугольный импульс, восстановленный при помощи обратного Фурье-преобразования в случае, когда по длине импульса взято 45, 180, 900 отсчетов."
http://rte.chuvsu.ru/uits/liter_uits/pl ... lav4_4.htm


"Как видно из рисунка, с увеличением числа отсчетов, повышается точность восстановления длины фронта импульса, но амплитудная погрешность (наличие периодической составляющей вблизи фронта) практически не зависит от частоты дискретизации. Она превышает 15%."

-- 30.10.2014, 12:34 --

происходит это из-за того, что преобразование Фурье - сумма непрерывных функций, то есть таких, у которых во всех точках существуют производные, которые естественно не могут в точности описать сигналы с несуществующими производными.

[Евгений Машеров]

Ну, собственно, явление Гиббса и нарисовано. В пределе там будет "выплеск" в точках разрыва, а при конечном числе членов разложения - колебания.
Но я бы и про частоты выше f/2 подумал, может, и они влияют.

[BasilKrzh]

Спасибо, я сам не вспомнил, а обычная же вещь. Но всё равно не очень соображаю, почему так колбасит фазу ...
Т.е. почему АЧХ масштабируется и значение максимума меняется на $\frac{\pi}{2}$ (или это не так?)

[levtsn]

а может это просто ачх фильтра цапа или ацп? стоит себе дециматор, как раз такая картина и будет - импульсная характеристика в отсчетах от частоты выборки не зависит, а ачх какраз будет гулять вместе с изменением частоты дискретизации.
а фаза - это просто групповое время задержки фильтра КИХ.
я уверен на 99% в том что я прав.

совет - меряйте на наибольшей доступной частоте выборки.

[BasilKrzh]

Я прошу прощения, я не совсем правильно указал проблему с ФЧХ. подобные скачки вверх-вниз и по абс значению амплитуды наблюдаются для одной частоты дискретизации, например, для $R_1=11025\text{ Hz}$:

[levtsn]

basil, такие скачки таких графиков означают что в процесс вносится случайная задержка.
(линейный график фчх дает постояннуй графиг группового времени задержки.)

возможно синхронизация старта измерения плавает. как там у вас сигнал шум?

[BasilKrzh]

Спасибо большое за помощь. Я, наверное, опять не совсем точно выразился, моя задача была понять, чем обусловлены результаты. Вы мне в этом очень помогли.