Как составляли математические таблицы?

[Aaron]

Здравствуйте, люди. Вот у меня вопрос - как раньше составляли математические таблицы? Ведь когда-то без них и не считали, калькуляторов не было. Однако, я не понимаю - как же могли высчитать все эти таблицы без ЭВМ? Сейчас, например, я бы не удивился - рассчитал на ЭВМ , к примеру, сумму 100 членов ряда Тейлора - вот тебе и значение синуса, косинуса, etc с нужной тебе точностью. А как же считали тогда, неужели тоже по рядам?

[Xaositect]

Конечно. Тригонометрические еще с помощью половинных и кратных углов.
Это трудоемко, но не так уж слишком, как Вы представляете. 100 членов для четырех или шести знаков после запятой не нужно, достаточно 8 или 10.

[Aaron]

а промежуточные вычисления рядов или половинных/двойных/прочих формул проводились обычным столбиком или ещё как-то?

-- 29.10.2014, 18:25 --

И кстати. Первые таблицы синуса сделал ещё Птолемей - но тогда ведь рядов не было! Как он их составил?

[Munin]

Рядов как единой теории не было, но как вычислять последовательные приближения некоторых функций - знали. Причём это были не обязательно ряды (суммы), иногда произведения, иногда цепные дроби, может быть, что-то ещё.

Кроме того, не надо недооценивать и то, сколько времени люди в прошлом тратили на расчёты. Кеплер на свои расчёты потратил 20 лет, и не жалел о потраченном времени. Большую часть этих 20 лет составляли как раз вычисления "обычным столбиком", иногда по неверному пути, а на размышления и теорию приходилась меньшая часть. И у других учёных затраты сил были примерно того же порядка, просто про это меньше известно. Кстати, Кеплер ещё сильно "оптимизировал" свои расчёты, создав таблицы логарифмов, и заменяя умножение сложением.

[Skeptic]

Aaron в сообщении #924159 писал(а):

И кстати. Первые таблицы синуса сделал ещё Птолемей - но тогда ведь рядов не было! Как он их составил?

В двух словах, использовал линейку и циркуль.
Aaron, поищите в Яндексе: "Птолемей, таблицы синусов".

[Red_Herring]

Перед компьютерами появились механические и затем электромеханические арифмометры. Кстати были весьма специализированные устройства для управлением артиллерийским огнем.

Были логарифмические линейки.

И наконец была профессия расчетчика. Комнаты в которых сидели в основном девушки и считали карандашами 2М (слышал кажется от С.К.Годунова). Если американцы использовали при расчете бомбы ЭНИАК, а затем МАНИАК, то русские использовали такие живые компы, и — справились за счет оптимизации алгоритмов.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #924273 писал(а):

Были логарифмические линейки.

Так перед этим логарифмы же надо было изобрести! И изобрели их именно как расчётный инструмент (сразу вместе с таблицами, и даже таблицы были чуть раньше). Очень красивая страница истории математики.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #924285 писал(а):

Так перед этим логарифмы же надо было изобрести!

Разумеется. Просто я имел в виду, что вот считали столбиком, а потом вдруг компьютеры. Там еще номограммы были (и были люди, которые их разрабатывали. Это искусство утеряно

[Евгений Машеров]

Если брать античность - то таблицы тригонометрических функций (а, собственно, каких ещё тогда? логарифмы и экспоненты неизвестны, ну, ещё корни и квадраты с кубами) считали, используя известные значения функций некоторых углов (чему там синус 30 градусов равен?) и формулы для половинных углов и сумм углов.
То же и в средневековье. Обычная практика расчётов тех лет - университетский профессор (или придворный математик) вместе с учеником считают "в две руки", контролируя друг друга. На расчёт таблицы уходили годы, иногда и десятилетия. Основной объект расчётов - не собственно математические, а астрономические таблицы.
Логарифмы придумал Непер для облегчения вычислений, причём сперва догадался, что тождество $a^xa^y=a^{x+y}$ позволяет заменить умножение сложением и вычислил таблицу степеней 1.0000001 (последовательным умножением, но благодаря специальному виду сомножителя оно сводится к сложению со сдвигом) и обратную к ней.
Вплоть до Великой Французской революции считали по средневековой схеме - вычислитель и ассистент, контролирующие друг друга, своего значения она, впрочем, не утратила вплоть до середины ХХ века, до появления компьютеров, но возникла и другая организация - группа малоквалифицированных вычислителей, между которыми распределена работа, и которых контролируют специалисты (это и "девочки-расчётчицы" атомного проекта, правда, там уже были не только и не столько карандаши, но и арифмометры, и "настольные Мерседесы", воспетые Стругацкими, а первый пример, видимо, "многопроцессорный компьютер на парикмахерах", переход на метрическую систему, включая метрическую меру углов, в градах, потребовал пересчёта таблиц в кратчайшие сроки, а также расчёта специальных таблиц для артиллерии и военной инженерии, а парикмахеры, по случаю революционной моды на короткие стрижки и декапитации самой состоятельной части клиентуры, оказались безработными, и считать в пределах 4 действий умели, так что был Лагранж и несколько квалифицированных математиков, придумывавших метод интерполяции, два десятка студентов-математиков, считавших опорные точки и около сотни парикмахеров, вычислявших по схеме, в основном пользуясь сложением, а студенты их в это время контролировали).
Попытки сделать механический вычислитель были многократны, уместно вспомнить Паскаля, который такую машину сделал для своего отца, налогового инспектора, но к расчёту таблиц их попытался применить Бэббидж (потребность в таблицах возрастала, как в чисто математических - тригонометрия, логарифмы, логарифмы тригонометрических функций, так и в специальных - для страхового дела, для расчёта механизмов и пр.). Хотя самый амбициозный его проект, "аналитическая машина", то есть полноценный программируемый компьютер на механических элементах, реализован не был, но менее продвинутый, "разностная машина", то есть многоступенчатый сумматор, вычисляющий функцию по заданным значениям конечных разностей n-ного порядка, хотя и не был доведён им, но позже был изготовлен малой серией при меньшем порядке разностей и был применён к расчёту страховых и артиллерийских таблиц.
В виде анекдота можно вспомнить попытку применить к такому расчёту "артистов-математиков", эстрадных вычислителей в уме, такая попытка была предпринята, например, бароном Вега при построении его семизначных таблиц логарифмов. Успех не сопутствовал.
С конца XIX века стали применяться электромеханические вычислители (табуляторы), дожившие в этом качестве до 60-х годов (вообще же применялись вплоть до 80-х, но для обработки первичной статистики)
Ряды для расчёта функций применялись редко. Иногда для расчёта опорных точек. В компьютерных вычислениях также для вычисления функций непосредственно разложения в ряд Тейлора или Маклорена не применяются, хотя иногда, используя разложение в ряд, получают расчётную формулу "экономизацией".

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #924339 писал(а):

Если брать античность - то таблицы тригонометрических функций (а, собственно, каких ещё тогда? логарифмы и экспоненты неизвестны, ну, ещё корни и квадраты с кубами)

Самые первые таблицы были - у функции $1/x.$ Ну и квадраты и кубы рядом. Потому что это же, в обратную сторону, и квадратные-кубические корни.

Таблицы $1/x$ были ещё до изобретения деления "в столбик", и участвовали в развитии самого понятия деления (и дробей). Например, в совсем-уж-античности дробей вида $\tfrac{m}{n}$ вообще не было, а были только дроби $\tfrac{1}{n},$ и их суммы $\tfrac{1}{n_1}+\tfrac{1}{n_2}+\ldots+\tfrac{1}{n_k}$ (а так же, "исключительная дробь" $\tfrac{2}{3}$). Задача деления представляла собой задачу нахождения такой суммы.

Евгений Машеров в сообщении #924339 писал(а):

Логарифмы придумал Непер для облегчения вычислений, причём сперва догадался, что тождество $a^xa^y=a^{x+y}$ позволяет заменить умножение сложением и вычислил таблицу степеней 1.0000001 (последовательным умножением, но благодаря специальному виду сомножителя оно сводится к сложению со сдвигом) и обратную к ней.

История возникновения логарифмов - посложнее. Принято говорить, что их "придумал Непер", но хотя в современном-теоретическом смысле это верно, в тогдашнем-практическом - он придумал штуку довольно сырую, всего лишь выражающуюся через современные логарифмы. В дальнейшем улучшении этой штуки поучаствовало несколько людей, и Кеплер совершил наибольший вклад.
1. Кеплер перешёл именно к функции $y=\log_a x,$ от более неудобной функции Непера.
2. Кеплер перешёл к основанию 10, что позволило умножать величины произвольного порядка (записанные в десятичном виде), рассчитав таблицу логарифмов только в пределах одного порядка.
После этого, Кеплер рассчитал собственную таблицу для собственных нужд, а также опубликовал её.
Подробнее см.
Белый Ю.А. Иоганн Кеплер (1571-1630).

Евгений Машеров в сообщении #924339 писал(а):

...и обратную к ней.

Обращение таблицы - а нужно ли оно вообще? Прямой таблицей можно пользоваться и в обратную сторону, достаточно линейной интерполяции.

[Евгений Машеров]

1. Да, Вавилон, Египет... Но описания того, как считали, не сохранилось, можно лишь предполагать, как.
А дроби вида $\frac 1 n$, возможно, свидетельство не столько затруднений математики, сколько недоверия работников, между которым делили хлеб, пиво и т.п. к честности дележа. Если делят на n частей, можно предложить выбирать не тому, кто режет, и тогда у него есть стимул делить честно.
2. Ну, Кеплер или Бригг, или оба независимо придумали основание 10 - не могу утверждать. Ну и то, что у Непера не натуральный логарифм, а некая функция, которая в пределе будет стремиться к натуральному логарифму - это так.
3. Нужно для практического удобства. Скорости расчётов. Принципиальной необходимости, разумеется, нет. Линейная интерполяция работает, но она и при составлении таблицы обратной функции обычно используется. То есть это однократное выполнение работы, чтобы не делать её всякий раз при использовании.

Да, и вычисление таблицы "в четыре руки" упоминает адмирал Крылов, в ту пору мичман, применительно к составлению морских таблиц девиации компаса.

Цитата:

Работая под руководством И. П. де Колонга, я не только усвоил теорию девиации компаса и практику ее уничтожения, но усвоил и практические приемы производства численных вычислений, как-то: расположение их по столбцам, складывание двух рядом стоящих логарифмов от левой руки к правой, выписывая сумму сразу, а не цифру за цифрой, пользование клочком бумаги, на котором вписывается логарифм, который надо придавать к ряду других, и пр., чему научаешься при «показе», а не при «рассказе», как во всяком практическом деле.

Потом он занимался вычислением таблиц для эмеритальной (пенсионной) кассы Морского Ведомства, вероятностного характера.

[Евгений Машеров]

Red_Herring в сообщении #924273 писал(а):

Если американцы использовали при расчете бомбы ЭНИАК, а затем МАНИАК, то русские использовали такие живые компы, и — справились за счет оптимизации алгоритмов.

Не совсем так.
ЭНИАК запустили осенью 1945 года, атомная бомба уже была готова и взорвана. Он вообще был не столько для бомбы, сколько для артиллерии.

Цитата:

Расчёты таблиц стрельбы в то время проводились вручную на настольных арифмометрах. Эту работу в Лаборатории выполняли особые клерки — «компьютеры» — в основном женщины. Таблицы стрельбы рассчитывались для каждого отдельного типа снаряда и орудия перед отправкой на фронт, и при различных комбинациях множества параметров (температура воздуха, скорость ветра, плотность почвы под орудием, возвышение ствола, скорость снаряда, температура ствола орудия) требовался кропотливый расчёт около 3000 траекторий полёта снаряда. Расчёт каждой траектории требовал примерно 1000 операций. Один вычислитель был способен выполнить этот расчет за 16 дней, а на вычисление всей таблицы потребовалось бы 4 года.

Хотя в расчётах водородной бомбы он участвовал. И даже к машине был добавлен (аппаратный) датчик ПСЧ.
А MANIAC и вовсе запустили в 1952.
Американцы использовали и людей-вычислителей, и счётно-перфорационные машины (кстати, при обсуждении вопроса о приоритете на Быстрое Преобразование Фурье вспомнили, что такой приём, деление колоды карт и счёт на двух табуляторах, применялся в 1948, и заявили, что Кули с Тьюки сплагиатили, но потом нашли учебник по численным методам Рунге, 1920 года, где это было описано, как второстепенный вспомогательный приём, затем копнули глубже, и обнаружили, что основная идея БПФ была придумана Эйлером не то, что до изобретения преобразования Фурье, но до его, Фурье, рождения...)

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #924384 писал(а):

Но описания того, как считали, не сохранилось, можно лишь предполагать, как.

Как раз сохранилось же. В книжке Ван дер Вардена ссылки на конкретные папирусы, и у Выгодского на них же.

Евгений Машеров в сообщении #924384 писал(а):

2. Ну, Кеплер или Бригг, или оба независимо придумали основание 10 - не могу утверждать.

По крайней мере, Кеплер независимо рассчитал таблицу по основанию 10. В контексте эпохи это, пожалуй, бо́льшая заслуга, чем придумать саму идею.

Евгений Машеров в сообщении #924384 писал(а):

Ну и то, что у Непера не натуральный логарифм, а некая функция, которая в пределе будет стремиться к натуральному логарифму - это так.

Цитата:

Шотландский математик Джон Непер опубликовал свои таблицы в 1614 г. под названием «Mirifici logarithmorum canonis descriptio» («Описание удивительных таблиц логарифмов»). Здесь он приводит семи- и восьмизначные значения логарифмов синусов, косинусов, а также тангенсов углов первой четверти. Приняв $\sin 90^\circ$ равным $10^7=10\,000\,000$ (десятичные дроби тогда еще не получили широкого распространения), Непер определил свои логарифмы так, чтобы $\log_{Ne}10^7=0$ ($\log_{Ne}={}$ логарифм Непера), логарифмы любых других значений синуса у него положительны (но уменьшаются при увеличении аргумента). Зависимость между неперовыми и натуральными логарифмами можно выразить так:


$$\log_{Ne}N\approx 10^7\cdot\ln\dfrac{10^7}{N}.$$

Правила логарифмирования у Непера более громоздки, чем известные нам еще в школе, так как в них $\log_{Ne}1\ne 0.$

$$\log_{Ne}N\approx 10^7\cdot(\ln 10^7-\ln N).$$

Впрочем, про Кеплера я соврал, он тоже не довёл функцию до современного вида.

Цитата:

С помощью натуральных логарифмов их (логарифмы Кеплера и логарифмы Непера) можно связать соотношением


$$\Log_K x=\log_{Ne}x+3{,}94\cdot\dfrac{\ln 10^7}{x}\approx \log_{Ne}x+3{,}9\dfrac{\ln 10^7}{x}.$$

Как видно, эта функция ещё дальше от $\ln x$ или $\lg x.$ C другой стороны, я не уверен, что эта формула не набрана с опечаткой (в книге Белого есть опечатки в формулах, к сожалению, и с предшествующим текстом эта формула не очень согласуется).

Другое отличие в том, что таблицы логарифмов Кеплера были протабулированы с равным шагом по аргументу логарифма, в то время как таблицы Непера - по аргументу $\ln\sin x,\ln\cos x,\ln\tg x$ - то есть, были приспособлены для вычисления не напрямую логарифмов, а для логарифмов тригонометрических функций.

По датам: Бригс, по идее, изобрёл десятичные логарифмы первым, но его изобретение стало знакомо Кеплеру не раньше 1623, в то же время Кеплер закончил рукопись "Тысячи логарифмов" не позже 1622, после чего произошла задержка при издании до 1624. Таблицы логарифмов Кеплера, возможно, были не самыми удобными из созданных в ту эпоху, но вошли в состав его астрономических "Рудольфинских таблиц", "служивших астрономам настольной книгой на протяжении более 100 лет".

Про обращение таблиц - вопрос снимается. Конечно, смотря по чему протабулировать таблицу, удобство пользования ею сильно меняется.

[Red_Herring]

Евгений Машеров в сообщении #924415 писал(а):

Не совсем так.
ЭНИАК запустили осенью 1945 года, атомная бомба уже была готова и взорвана. Он вообще был не столько для бомбы, сколько для артиллерии.

Ну , это была не последняя бомба. Впрочем, я пишу на основании устного предания—когда я был студентом/аспирантом, то некоторые из моих профессоров участвовали в этом и время от времени вспоминали. Плюс упоминалось об этом и в заздравных речах в честь 60-лртия С.Л.Соболева (торжества были тогда грандиозные. Только салюта не было, а так одних телеграмм на красных и синих бланках было достаточно, чтобы сдав в макулатуру получить подписку на ПСС Достоевского (или 10-летнюю путевку по ленинским местам)). Учитывая склонность памяти (их и моей) к некоторой драматизации событий я могу претендовать лишь на художественную правдивость

Золотой Теленок писал(а):

Я это сделал не в интересах истины, а в интересах правды

[Mopnex]

Red_Herring в сообщении #924273 писал(а):

И наконец была профессия расчетчика. Комнаты в которых сидели в основном девушки и считали карандашами 2М (слышал кажется от С.К.Годунова). Если американцы использовали при расчете бомбы ЭНИАК, а затем МАНИАК, то русские использовали такие живые компы, и — справились за счет оптимизации алгоритмов.

В.С. Владимиров в писал(а):

Была набрана группа 40-50 опытных вычислителей-геодезистов, в основном состоящая из девушек и молодых женщин. Вычислители работали с большим подъёмом и ответственностью. Была установлена норма - 800 операций за 8-часовой рабочий день. Под одной операцией подразумевалось умножение двух 8-значных чисел. Ряд вычислителей перекрывал эту норму, делая по 1000-1200 операций в день. В течение 1951-1953 гг. мне выпало руководить этой живой ЭВМ. Были рассчитаны многие варианты ядерных систем, в частности, термоядерное устройство ("изделие" как тогда называли) - "слойка" Сахарова. В 1953 г. группа была разделена на три отдела. Я стал руководить отделом интегральных уравнений - в частности, нам пришлось рассчитывать так называемую "чечевицу". Насколько я помню, задача сводилась к нахождению наименьшего собственного значения матрицы 47 порядка. По ходу дела наши заказчики неоднократно меняли матрицу, умножая её строки и столбцы на неизвестно откуда взявшиеся числа. Такой способ был назван в шутку "методом умножения матрицы на числа, угодные начальству". Я.Б. за это обиделся.

Из сборника "Я - ФИЗТЕХ"

Ещё, к сожалению, не помню кто рассказывал - то ли Колмогоров, то ли кто-то такого же калибра - об операциях, в частности, нахождения ранга вот этой самой матрицы 47 порядка. Способ интересный. Рассаживали девушек и женщин в огромной аудитории, вот не помню в каком количестве, вроде 47х47, и алгоритм Гаусса погнал.