Задача 10.366 из задачника Сканави.

[Charlz_Klug]

Задача № 10.366 из задачника Сканави.
Условие задачи:
Две окружности касаются внешним образом в точке $A$. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку $A$ с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8 сантиметров.


Решение.
Проведём общую касательную $BC$ к двум данным окружностям с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ ($B$ и $C$ - точки касания), $AB=8$, $AC=6$. Проводим касательную в точке $A$ до пересечения с $BC$ в точке $D$. Тогда $DA=DB=DC \Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$, $BD=5$, $\angle AO_2C=180^\circ - \angle ADC= \angle BDA \Rightarrow \bigtriangleup ABD$ \sim \bigtriangleup ACO_2 \Rightarrow \frac{BD}{AO_2} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow $ AO_2 = \frac{15}{4}$.

Рассуждая аналогично, получаем $AO_1 = \frac{20}{3}$.

Ответ: $\frac{15}{4}$ см, $\frac{20}{3}$.

Непонятные моменты: Из какой теоремы или из какого свойства вытекает равенство $\angle AO_2C=180^\circ - \angle ADC$?

[kw_artem]

Так у вас в четырехугольнике $ADCO_2$ два угла $\angle DAO_2$ и $\angle DCO_2$ -- прямые (а сумма углов в любом четырехугольнике всегда $360^{\circ}$)

[TOTAL]

Charlz_Klug в сообщении #924018 писал(а):

Непонятные моменты: Из какой теоремы или из какого свойства вытекает равенство $\angle AO_2C=180^\circ - \angle ADC$?

Это углы четырехугольника с двумя другими прямыми углами.

[Charlz_Klug]

Большое спасибо откликнувшимся! Помогли разобраться с решением.