Где лучше брать данные по SN Ia: mu(z)?

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #908168 писал(а):

А перерисуйте-ка в осях $\ln z - \ln \mu $? Интересно, как выглядеть будет.

Зелёная - это де Ситтер

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right), $$

$$ a(t) = \exp \left( \frac{c t}{\sqrt{3} \ell} \right). $$

$\ell \approx 8.4 \times 10^9$ световых лет. Среднеквадратичное отклонение графика $\mu(z)$ от точек получилось $0.317$. Момент времени $t=0$ ничем не выделен. Есть сингулярность при $t = - \infty$.

Рыжая - это мало кому известная открытая модель Фридмана с "отрицательной энергией". Интересна тем, что расширяется ускоренно и не имеет сингулярности.

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 \left( d\chi^2 + \sinh(\chi)^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \right), $$

$$ a(t) = \frac{\ell}{2} \left( \cosh(\xi) + 1 \right), \quad ct = \frac{\ell}{2} \left( \sinh(\xi) + \xi \right). $$

$\ell \approx 4.5 \times 10^9$ световых лет. После момента максимального сжатия (несингулярного!!!) прошло $t \approx 13.8 \times 10^9$ лет. Среднеквадратичное отклонение графика $\mu(z)$ от точек получилось $0.335$.


Чёрная - это простейшая модификация де Ситтера с выделенным моментом времени $t=0$. Как и рыжая тоже с "отрицательной энергией" и тоже не имеет сингулярности. При $ct \gg \ell$ стремится к модели де Ситтера.

$$ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right), $$

$$ a(t) = \left( 2 \cosh \left( \frac{\sqrt{3} \, c t}{2 \ell} \right) \right)^{2/3} $$

$\ell \approx 7.87 \times 10^9$ световых лет. После момента максимального сжатия (несингулярного!!!) прошло $t \approx 19 \times 10^9$ лет. Среднеквадратичное отклонение графика $\mu(z)$ от точек получилось $0.315$ (лучший результат).



У обеих рассмотренных несингулярных моделей расширяющихся с ускорением хвост графика $\mu(z)$ торчит вверх при больших $z$. Отклонение рыжей и чёрной кривых от зелёной кривой де Ситтера:

[Утундрий]

Я не поступлю слишком грубо, если ограничусь линейным трендом для второго графика?

[Munin]

Утундрий в сообщении #908447 писал(а):

Я не поступлю слишком грубо

Ну что вы, мы вас простим, конечно же!

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #908447 писал(а):

Я не поступлю слишком грубо, если ограничусь линейным трендом для второго графика?

Возможно ошибётесь на $10^{-3}$, а может и нет.

Во всяком случае, относительное отклонение зелёной, рыжей и чёрной кривых от прямой линии $\log(\mu) = 3.78 + 0.061 \log(z)$ на интервале от $\log(z) = -5$ до $\log(z) = 0.4$ происходит на величину $10^{-3}$:

[SergeyGubanov]

Нашёл статью The Discovery of the Most Distant Known Type Ia Supernova at Redshift 1.914, только почему-то там нет интересующей меня числовой таблицы данных: $\mu(z)$.

Экспериментально-наблюдательная статья не содержит экспериментально-наблюдательной таблички данных с числами $\mu(z)$, они издеваются, да?..

Такие далёкие сверхновые наблюдаются при помощи HST+WFC3 (дальнобойность примерно до $z=2.5$).

[Pphantom]

SergeyGubanov в сообщении #922882 писал(а):

Экспериментально-наблюдательная статья не содержит экспериментально-наблюдательной таблички данных с числами $\mu(z)$, они издеваются, да?..

Вообще-то первая и единственная в этом препринте таблица как раз эти данные и содержит.

[SergeyGubanov]

Pphantom, Вы наверное знаете какой-то секрет, в TABLE 1. PHOTOMETRIC OBSERVATIONS я не вижу чисел похожих на $1.914$ (заявленное в заголовке $z$) и чисел около $45 - 48$ (примерно ожидаемое значение $\mu$ для такого большого $z$).

[Pphantom]

SergeyGubanov в сообщении #923463 писал(а):

Вы наверное знаете какой-то секрет, в TABLE 1. PHOTOMETRIC OBSERVATIONS я не вижу чисел похожих на $1.914$ (заявленное в заголовке $z$)

Да, пожалуй, я невнимательно прочитал, что именно Вы хотите (вернее, подсознательно переделал Ваше очень странное желание во что-то более осмысленное). Но если Вы настаиваете, то возникает вопрос: Вы статью читали?

Она называется "THE DISCOVERY OF THE MOST DISTANT KNOWN TYPE IA SUPERNOVA AT REDSHIFT 1.914". В переводе на русский: "Открытие наиболее удаленной из известных сверхновой типа Ia на $z=1.914". Выделенное слово - в единственном числе. Какую зависимость от одного-единственного красного смещения Вы ожидали увидеть?

SergeyGubanov в сообщении #923463 писал(а):

и чисел около $45 - 48$ (примерно ожидаемое значение $\mu$ для такого большого $z$).

А вот фотометрические результаты для разных моментов времени в этой таблице есть (см.последние три столбца, а особенно последний). Соответственно, вычислить по ним модуль расстояния $\mu$ (который Вы почему-то называете видимой звездной величиной) тривиально, если известна абсолютная звездная величина в максимуме. В первом приближении можно считать, что это что-то вроде $M=-20^m \div -21^m$, тогда искомая $\mu=45^m$ и получится.

[SergeyGubanov]

Pphantom, а можно по-подробнее про $M=-20^m$ и как она связана с $\mu$?

На всякий случай, то что я разумею под буквой $\mu$ связано с оптической длиной пути в вакууме в плоском статичном пространстве следующей формулой:

$$ d = (\text{мега парсек}) \times 10^{(\mu - 25) / 5} $$

В универе у нас астрономии не было, пытался разобраться сам по Интернетам, то есть никаких систематических знаний по астрономии у меня нет.

[Pphantom]

$\mu$ (хотя чаще его обозначают $\rho$) - это т.н. модуль расстояния. $\mu = m-M$ (разнице видимой и абсолютной звездных величин). Если пренебречь поглощением света по дороге и прочими неприятными эффектами, то $\mu = 5 \lg r - 5$, где расстояние до объекта $r$ выражено в парсеках.

Соответственно, при фотометрических оценках расстояний (в частности, с использованием "метода стандартных свечей") это попросту некоторая функция расстояния. Если видимая звездная величина $m$ известна (а именно она из наблюдений и получается), то для подобной оценки расстояния нужно знать абсолютную звездную величину $M$ (по определению это видимая звездная величина, которую имел бы объект, находящийся на стандартном расстоянии 10 пк, по сути дела, это некая логарифмическая функция светимости). SN Ia хороши как раз тем, что для них $M$ в максимуме блеска с хорошей точностью одинакова и известна.

Остались "мелкие технические детали". Все было бы просто замечательно, если бы не нужно было учитывать поглощение (межзвездное, межгалактическое, в галактике, в которой вспыхнула сверхновая), а также пачку космологических эффектов (смещение спектральной полосы наблюдения, гравлинзирование излучения и т.д.). Поэтому грубую оценку $M$ с учетом этих поправок сделать легко, а вот получение чего-то более точного - огромная и тяжелая работа. Так что в найденной Вами статье наблюдательные данные как раз есть, они принципиально позволяют получить еще одну точку на графике из первого сообщения, но эту работу кто-то тоже должен проделать.

[SergeyGubanov]

Pphantom, большое спасибо!

[SergeyGubanov]

Это не некропостинг, тема живая, но медленная как расширение Вселенной

Недавно в другой ветке зашла речь про luminosity distance, то самое $D_{L}$ которое фигурирует в формуле с модулем расстояния $\mu$. И тут я понял, что не до конца понимаю что конкретно учтено, а что не учтено в публикуемых таблицах $\mu(z)$.

И так, рассмотрим модель Мира с метрикой

$$ ds^2 = dt^2 - a^2(t) \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right) $$

Пусть в момент времени $t_1$ произошла вспышка сверхновой, мы её наблюдаем в момент $t_2$. Тогда, площадь сферы светового фронта

$$ S(t_1, t_2) = 4 \pi \left( a(t_2) \int\limits_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{a(t)} \right)^2 $$

космологическое красное смещение:

$$ \omega_2 = \frac{a(t_1)}{a(t_2)} \omega_1, \qquad z(t_1, t_2) = \frac{a(t_2) - a(t_1)}{a(t_1)} $$

космологическая дилатация промежутков времени

$$ \Delta t_2 = \frac{a(t_2)}{a(t_1)} \Delta t_1. $$

То есть если со времени вспышки Мир расширился например в два раза, то наблюдаемая частота фотонов будет в два раза меньше, а наблюдаемая длительность процесса вспышки в два раза дольше.

По определению, для $D_{L}(t_1, t_2)$ имеем

$$ D_{L}(t_1, t_2) = \sqrt{ \frac{ L(t_1) }{ 4 \pi F(t_2) } } $$

И вот тут начинается непонятное. В зависимости от того что уже было учтено (или не учтено) при замере $F(t_2)$ получается как минимум три возможные формулы для $D_{L}(t_1, t_2)$:

$$ D^{(1)}_{L}(t_1, t_2) = a(t_2) \int\limits_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{a(t)} $$

$$ D^{(2)}_{L}(t_1, t_2) = \sqrt{\frac{a(t_2)}{a(t_1)}} \, a(t_2) \int\limits_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{a(t)} $$

$$ D^{(3)}_{L}(t_1, t_2) = \left( \frac{a(t_2)}{a(t_1)} \right) a(t_2) \int\limits_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{a(t)} $$

Если при замере $F(t_2)$ уже было учтено ослабление светового потока из-за красного смещения и ослабление из-за дилатации промежутков времени, то правильной будет $D^{(1)}_{L}(t_1, t_2)$.

Если при замере $F(t_2)$ уже было учтено либо ослабление светового потока из-за красного смещения либо ослабление из-за дилатации промежутков времени (но не оба ослабления вместе), то правильной будет $D^{(2)}_{L}(t_1, t_2)$.

Если при замере $F(t_2)$ не учитывалось ни ослабление светового потока из-за красного смещения ни ослабление из-за дилатации промежутков времени, то правильной будет $D^{(3)}_{L}(t_1, t_2)$.

Что на самом деле делают при замере $F$? Кто-нибудь в этом разбирался?

По моему, должна бы быть правильной $D^{(3)}_{L}(t_1, t_2)$, но я не уверен, а вдруг при замере $F(t_2)$ что-то "автоматически" корректируют...

[Munin]

Если бы вы сказали, что такое эта $F,$ может быть, вам бы кто-нибудь и мог помочь.

[SergeyGubanov]

На сколько я понял, англоязычная Википедия считает, что правильным вариантом является тот, который я обозначил $D^{(3)}_{L}(t_1, t_2)$

Из Luminosity_distance, Distance_measures_(cosmology), Comoving_distance можно догадаться, что там используется соглашение о нормировке $a(t_2) = 1$, в этом случае $1 + z = \frac{1}{a(t_1)}$ и тогда википедийная $D_{L}$ совпадает с моей $D^{(3)}_{L}(t_1, t_2)$.

[Munin]

Почему бы вам не пойти по ссылкам из той же Википедии? Они там не зря лежат.