Сходимость ряда.

[main.c]

Нужно исследовать на сходимость вот такой вот ряд:
$\dfrac{1}{3} - 1 + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{9} + ...$
$a_{2k-1} = \dfrac{1}{4k-1}, a_{2k}=-\dfrac{1}{4k-3}$
Очевидно, что ряд абсолютно не сходится, так как даже если выбросить из него все членыс нечётными номерами у нас останется гармоничесий ряд, который расходится. Но как быть с условной сходимостью? У меня были мысли расммотреть ряд: $\sum_{k=1}^\infty(a_{2k-1} + a_{2k})$, но я отбросил её, так как нельзя в общем случае группировать, например, ряд с общим членом $(-1)^n$ можно сгруппировать так, что получится 0, хотя он не сходится. Но посмотрев в ответ я с ужасом обнаружил, что моя идея была правильной, но я теперь окончательно запутался: в каких случаях группировать можно, а в каких нет?

[ИСН]

Группировать можно, когда при этом получается правильный ответ, и нельзя, когда неправильный. (Примеры на оба случая Вы привели.) Правильный ответ я бы нашёл, переставив местами чётные и нечётные члены. Это делать можно всегда. Нельзя переставлять те, что расположены далеко, но это другое дело.

[Mihr]

Идея была правильной, так как в данном случае дополнительно выполняется такое условие: общий член ряда стремится к нулю. Поэтому последовательность частичных сумм ряда сходится к той же величине, что и подпоследовательность частичных сумм с чётными номерами. Это по сути означает, что ряд сходится.
Что касается ряда с общим членом $(-1)^n$, он сходиться не может, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

[main.c]

ИСН в сообщении #923226 писал(а):

Правильный ответ я бы нашёл, переставив местами чётные и нечётные члены

И что нам даст эта перестановка?

[Mihr]

main.c,
вспомните самый простой признак сходимости знакочередующегося ряда.

[main.c]

Mihr в сообщении #923250 писал(а):

main.c,
вспомните самый простой признак сходимости знакочередующегося ряда.

Признак Лейбница)) Ок, это я понял. Но вернёмся к общему случаю, я так и не понял, почему если общий член стремится к нулю, то можно группировать сосединие элементы?

[Mihr]

"я так и не понял, почему если общий член стремится к нулю, то можно группировать сосединие элементы?"

Попробую пояснить так.
Запишите частичную сумму с нечётным номером в виде
$S_{2k+1}=S_{2k}+a_{2k+1}$
И перейдите в этом равенстве к пределу (при k стремящемся к бесконечности). Дальше сами сообразите?

[main.c]

ИСН в сообщении #923226 писал(а):

Правильный ответ я бы нашёл, переставив местами чётные и нечётные члены. Это делать можно всегда.

А Вы могли бы это пояснить? Ну или хотя бы сказать, где можно прочитать доказательство данного утверждения.

-- 26.10.2014, 20:41 --

Mihr в сообщении #923255 писал(а):

"я так и не понял, почему если общий член стремится к нулю, то можно группировать сосединие элементы?"

Попробую пояснить так.
Запишите частичную сумму с нечётным номером в виде
$S_{2k+1}=S_{2k}+a_{2k+1}$
И перейдите в этом равенстве к пределу (при k стремящемся к бесконечности). Дальше сами сообразите?

Извините, но я что-то совсем перестал соображать, ну записал я, а что дальше?

[Mihr]

Цитата:

А Вы могли бы это пояснить?

Давайте я немного поясню. Очевидно, здесь достаточно доказать, что при такой процедуре сходящийся ряд останется сходящимся. Отсюда автоматически следовало бы, что расходящийся останется расходящимся (если это вызывает сомнение, мысленно проведите описанную процедуру два раза подряд).
Итак, пусть имеется сходящийся ряд. Его общий член стремится к нулю в силу необходимого условия сходимости ряда). Переставим в нём члены с чётными и нечётными номерами. Далее запишем частичную сумму ряда, выделив ней последнее слагаемое (как в моём предыдущем посте). А дальше рассмотрим по отдельности два случая:
1) Частичная сумма содержала нечётное число слагаемых
2) Частичная сумма содержала чётное число слагаемых
В каждом из этих случаев выполним предельный переход при неограниченном возрастании номера суммы и посмотрим, что получится...

-- 26.10.2014, 20:58 --

Цитата:

Извините, но я что-то совсем перестал соображать, ну записал я, а что дальше?

Что дальше... Обозначьте предел последовательности частичных сумм чётного порядка какой-нибудь буквой, скажем, $S$. Припишите знак предела к левой и правой части указанного выше равенства. Что получается? Предел последовательности частичных сумм нечётного порядка равен... Чему?
И что из этого следует?

[Otta]

main.c
Внутри конечной-то суммы делать можно что хошь.

[ewert]

Не надо вообще ничего переставлять -- достаточно тупо сложить каждую пару. К суммам этих пар будет (в зависимости от чётности номера суммы) то ли добавляться, то ли не добавляться последний член; но поскольку он стремится к нулю -- никакого влияния на сходимость эта добавка не оказывает.

[main.c]

Правильно ли я понимаю, что:
1. Если общий член ряда стремится к нулю, то можно группировать сколько угодное конечное количество членов ряда.
2. Если поменять местами любое количество элементов ряда находящихся на расстоянии не больше, чем $n \in N$, то на сходимость ряда это не повлияет.

[ex-math]

main.c
Верно.

[ewert]

ex-math в сообщении #923343 писал(а):

main.c
Верно.

С точностью до того, что формулировки бессмысленны. Ну скажем: что в точности могут означать слова "можно группировать сколько угодное конечное количество членов ряда"?... -- ровно ничего, разумеется.

А так, по идее и глубоко дыша -- да, верно, конечно.

[ex-math]

ewert
Лишь неряшливы, не более. Ведь все всё поняли.