2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Среднее значение модуля
Сообщение25.10.2014, 12:07 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Подскажите, пожалуйста, как рассчитать среднее значение модуля суммы двух синусов несоизмеримых частот как функцию амплитуд этих синусов. То есть как найти функцию, заданную следующим образом:
$$f\left( x,y \right)=\overline{\left| x\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)+y\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right) \right|}$$
где усреднение производится по переменной $t$. Попытка вычисления этого выражения в лоб по определению среднего значения приводит к необходимости решить относительно переменной $t$ уравнение
$$x\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)+y\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)=0$$
где остальные переменные — параметры. Поскольку дробь $\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}$ по условию не является рациональным числом, то решить это уравнение не представляется возможным. И это ставит меня в тупик. Подскажите, пожалуйста, как быть? Заранее очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 12:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
B@R5uk в сообщении #922813 писал(а):
Поскольку дробь $\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}$ по условию не является рациональным числом, то решить это уравнение не представляется возможным. И это ставит меня в тупик.
Можно подумать, что если у Вас будет $\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{17}{19}$, то Вы это уравнение легко решите. Проблема больше в нахождении самого среднего значения - функция-то непериодическая. Значит надо считать ряд от корней. Он может быть красивым или некрасивым.
Я немного потыкался, в основном безрезультатно. Но надо, видимо, проверять (хотя бы численно) следующие гипотезы для красивого значения: последовательность корней $t_k$ равномерно распределена по модулям $\frac{2\pi}{\omega_j}$, а само среднее значение $\lim\limits_{L\to\infty}\frac{1}{2L}\sum\limits_{-L\leqslant t_k\leqslant L}(-1)^k\left(\frac{\sin \omega_2 t_k}{\omega_2}-\frac{\cos \omega_1 t_k}{\omega_1}\right)$ равно чему-то красивому (если $(-1)^k$ не помешает)

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Sonic86
А разве среднее значение -- это не интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
В частности, из-за подобных тупиков обычно считают среднее квадратичное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 16:12 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
С помощью неравенства Коши-Буняковского получается оценка:$$f(x,y)\leq \sqrt {\dfrac {x^2+y^2}2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Дак ведь это и есть среднее квадратичное. И - да, обычно оно всех устраивает.
Но может быть, можно ещё чуть-чуть улучшить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 20:16 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ex-math в сообщении #923085 писал(а):
А разве среднее значение -- это не интеграл?
да, это интеграл. Это я его просто преобразовал уже.

Я попробовал заменить $\sin x$ на $s(x)=-1+2x, 0\leqslant x<1$ и $s(x+1)=s(x)$ и прикинуть $\overline{s(\omega_1t)+s(\omega_2t)}$ при $\frac{\omega_1}{\omega_2}\not\in \mathbb{Q}$ предположении равномерного распределения корней - у меня получилось $\frac{\omega_1+\omega_2}{6}$, если я не ошибся. Т.е. уже даже для такой простой функции получаем не очень простую зависимость от частот. Сложно, конечно, правильно сказать, но боюсь, что в случае синусов ничего красивого не получится :-( .

Brukvalub в сообщении #923110 писал(а):
В частности, из-за подобных тупиков обычно считают среднее квадратичное.
Да, действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение модуля
Сообщение26.10.2014, 20:22 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
ИСН в сообщении #923223 писал(а):
Но может быть, можно ещё чуть-чуть улучшить?

Немного лучше может получиться, если использовать неравенство: $|a+b|\leq |a|+|b|$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group