Среднее значение модуля

[B@R5uk]

Подскажите, пожалуйста, как рассчитать среднее значение модуля суммы двух синусов несоизмеримых частот как функцию амплитуд этих синусов. То есть как найти функцию, заданную следующим образом:

$$f\left( x,y \right)=\overline{\left| x\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)+y\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right) \right|}$$

где усреднение производится по переменной $t$. Попытка вычисления этого выражения в лоб по определению среднего значения приводит к необходимости решить относительно переменной $t$ уравнение

$$x\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)+y\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)=0$$

где остальные переменные — параметры. Поскольку дробь $\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}$ по условию не является рациональным числом, то решить это уравнение не представляется возможным. И это ставит меня в тупик. Подскажите, пожалуйста, как быть? Заранее очень благодарен.

[Sonic86]

B@R5uk в сообщении #922813 писал(а):

Поскольку дробь $\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}$ по условию не является рациональным числом, то решить это уравнение не представляется возможным. И это ставит меня в тупик.

Можно подумать, что если у Вас будет $\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{17}{19}$, то Вы это уравнение легко решите. Проблема больше в нахождении самого среднего значения - функция-то непериодическая. Значит надо считать ряд от корней. Он может быть красивым или некрасивым.
Я немного потыкался, в основном безрезультатно. Но надо, видимо, проверять (хотя бы численно) следующие гипотезы для красивого значения: последовательность корней $t_k$ равномерно распределена по модулям $\frac{2\pi}{\omega_j}$, а само среднее значение $\lim\limits_{L\to\infty}\frac{1}{2L}\sum\limits_{-L\leqslant t_k\leqslant L}(-1)^k\left(\frac{\sin \omega_2 t_k}{\omega_2}-\frac{\cos \omega_1 t_k}{\omega_1}\right)$ равно чему-то красивому (если $(-1)^k$ не помешает)

[ex-math]

Sonic86
А разве среднее значение -- это не интеграл?

[Brukvalub]

В частности, из-за подобных тупиков обычно считают среднее квадратичное.

[mihiv]

С помощью неравенства Коши-Буняковского получается оценка:

$$f(x,y)\leq \sqrt {\dfrac {x^2+y^2}2}$$

[ИСН]

Дак ведь это и есть среднее квадратичное. И - да, обычно оно всех устраивает.
Но может быть, можно ещё чуть-чуть улучшить?

[Sonic86]

ex-math в сообщении #923085 писал(а):

А разве среднее значение -- это не интеграл?

да, это интеграл. Это я его просто преобразовал уже.

Я попробовал заменить $\sin x$ на $s(x)=-1+2x, 0\leqslant x<1$ и $s(x+1)=s(x)$ и прикинуть $\overline{s(\omega_1t)+s(\omega_2t)}$ при $\frac{\omega_1}{\omega_2}\not\in \mathbb{Q}$ предположении равномерного распределения корней - у меня получилось $\frac{\omega_1+\omega_2}{6}$, если я не ошибся. Т.е. уже даже для такой простой функции получаем не очень простую зависимость от частот. Сложно, конечно, правильно сказать, но боюсь, что в случае синусов ничего красивого не получится .

Brukvalub в сообщении #923110 писал(а):

В частности, из-за подобных тупиков обычно считают среднее квадратичное.

Да, действительно.

[mihiv]

ИСН в сообщении #923223 писал(а):

Но может быть, можно ещё чуть-чуть улучшить?

Немного лучше может получиться, если использовать неравенство: $|a+b|\leq |a|+|b|$.