Вопрос по книге Коен Таннуджи квант. механика

[Munin]

Ну, задаваемые вами вопросы укладываются в главу 4. А сопряжённые пространства - есть в этой же книге в главе 12.

[Cos(x-pi/2)]

illuminates

illuminates в сообщении #923056 писал(а):

По поводу примера. Как нам задать оператор отражения относительно диагонали?

Если напишу решение, то обломаю вам весь кайф! Помогу сделать лишь первый шаг: нарисую то, что требуется обдумать (а второй шаг - "обдумать" - делайте сами):



Здесь показано, как оператор отражения (назовём его $\hat A_1$ ) действует на произвольный вектор и на любую другую картинку в этом игрушечном 2-мерном мире с евклидовой геометрией.

Изображены и два разных базиса: штрихованный получен из нештрихованного поворотом ортов на 45 градусов против часовой стрелки. Оператор такого поворота обозначим как $\hat U_1$.

Отражённые орты там не нарисованы, их нарисуйте сами! И, всё разглядев, запишите результаты формулами - дескать мол, такой-то отражённый орт равен результату действия оператора $\hat A_1$ на такой-то неотражённый орт. Вот, как подсказка, одна из таких формул:

$\hat A_1 | v_1 \rangle = | v_2 \rangle$

Затем, учитывая, что $\langle v_j | v_i \rangle \ = \delta_{ji}$ , найдёте все матричные элементы $\langle v_i|\hat A_1| v_j \rangle$ как скалярные произведения неотражённых ортов с отражёнными. Затем надо поиграть в такую же игру со штрихованным базисом.

А затем вы сможете на тех же рисунках разобраться (и проверить всё аналитически, через матрицы), чем занимается "преобразованный оператор"

$\hat A_2 = \hat U_1 \hat A_1 {\hat U_1}^{-1}$

Подскажу ответ: он оказывается оператором отражения в вертикальном зеркале. Штрихованные орты по отношению к такому зеркалу расположены так же, как нештрихованные орты к первому, диагональному зеркалу; и вот поэтому-то имеет место равенство, из-за которого вообще родилась вся эта ветка.

Но если учиться всерьёз, то это не конец истории! Имеем неплохую игрушку: два оператора отражений и один оператор поворота, причём полностью понимаем, как это всё работает на рисунках и аналитически. Значит, надо посмотреть, что будет, если применять их многократно; ведь появятся новые операторы.

Таким путём можете изучить, к примеру, группу операторов, описывающую симметрию квадрата $C_{4v}$; найденные в такой игре матрицы дадут её 2-мерное представление. В группу $C_{4v}$ входят повороты на углы, кратные 90 градусов (вокруг нормали к плоскости рисунка), и отражения относительно четырёх зеркал: двух диагональных, вертикального и горизонтального. Резонно также начать разбирать главу в ЛЛ-3 "Теория симметрии".

Для каждого из наших операторов можно в добавок разобрать "задачу на собственные значения и собственные векторы". Операторы отражений эрмитовы (помимо того, что унитарные) поэтому все их собственные значения действительны и с очевидностью равны $\pm 1$, а их собственные векторы это нормали и параллели к зеркалам. Операторы же поворотов на углы не кратные 180 градусов лишь унитарны, поэтому их собственные значения имеют вид комплексных фазовых множителей; и собственный базис у них тоже комплексный. На этом примере вы познакомитесь с понятием "Неприводимые Представления"; и осознаете, что НП коммутативной (абелевой) группы одномерны, а расплата за это - комплексность.

Мат. аппарат КМ в значительной своей части это теория групп. Имхо, неизбежным появлением комплексных величин (фазовых множителей) в теории групп объясняется их появление в КМ-теории. "Преобразование операторов" в КМ играет роль ещё вот в каком аспекте - гамильтониан $\hat H$ квантовой системы инвариантен ко всем преобразованиям $\hat U$ из группы симметрии системы:

$\hat U \hat H \hat U^{-1} = \hat H$

Из таких равенств вытекает ряд важнейших следствий, обобщённо называемых "соображениями симметрии"... но не станем забегать вперёд.

О чтиве. Ко всему ранее названному в этой ветке добавьте "Фейнмановские Лекции по Физике": выпуски 8 и 9 (там КМ) и выпуск 10 (задачник с решениями); можно скачать, например, в этой физ-мат библиотеке. Главы 6 - 10 обязательно; 6-я как раз начинается с пояснений про векторы состояний и матрицы; задачи 9.2 - 9.5 тоже обязательно! Впрочем, как и всё остальное .

[illuminates]

Cos(x-pi/2)
Огромное Вам спасибо!