дифуры

[olga_helga]

не могу решить ур-ие

\[ xy'' + 2y' + xy = 0,y(0) = 1,y'(0) = 0 \]

.рассматриваю его как однородное,делаю замену

\[ y = e^{\int {z(x)dx} } \]

.Подставляю,получаю:

\[ x(z' + z^2 ) + 2z + x = 0 = > z' + \frac{2} {{zx}} + \frac{1} {{z^2 }} + 1 = 0 \]

.Далее делаю замену:

\[ p = \frac{1} {z},p' = - \frac{1} {{z^2 }}z' \]

.Получаю:

\[ p' - \frac{{2p}} {x} = p^2 + 1 \]

.Решаю методом вариации произвольной постоянной и получаю:

\[ p = C_1 e^{x^2 - \frac{1} {x}} \]

.Далее

\[ z = \frac{1} {p} = \frac{1} {{C_1 e^{x^2 - \frac{1} {x}} }} \]

,

\[ y = e^{\int {\frac{{dx}} {{C_1 e^{x^2 - \frac{1} {x}} }}} } \]

и все на этом ступор - не могу взять интеграл! Может я как-то неправильно посчитала?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

\[ x(z' + z^2 ) + 2z + x = 0 = > z' + \frac{2} {{zx}} + \frac{1} {{z^2 }} + 1 = 0 \]

Вот этот переход поподробнее можно?

[olga_helga]

сначала делим на x:

\[ z' + z^2 + \frac{{2z}} {x} + 1 = 0 \]

,потом на

\[ z^2 \]

:

\[ \frac{{z'}} {{z^2 }} + 1 + \frac{2} {{zx}} + \frac{1} {{z^2 }} = 0 \]

.извиняюсь потеряла в первом члене деление на

\[ {z^2 } \]

.но от етого потом ход решения не меняется(просто описка,в решении у меня есть деление,иначе бы нормальная замена

\[ p' = \frac{{ - 1}} {{z^2 }}z' \]

не получилась бы).что скажете?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Получаю:

\[ p' - \frac{{2p}} {x} = p^2 + 1 \]

.Решаю методом вариации произвольной постоянной и получаю:

\[ p = C_1 e^{x^2 - \frac{1} {x}} \]

Подстановка Вашего решения не превращает уравнение в верное равенство

[olga_helga]

ну тогда каким должно быть решение уравнения

\[ p' - \frac{{2p}} {x} = p^2 + 1 \]

?

[V.V.]

Сделайте замену $y[x]=z[x]/x$.