2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 дифуры
Сообщение21.12.2007, 21:41 
не могу решить ур-ие \[
xy'' + 2y' + xy = 0,y(0) = 1,y'(0) = 0
\].рассматриваю его как однородное,делаю замену \[
y = e^{\int {z(x)dx} } 
\].Подставляю,получаю: \[
x(z' + z^2 ) + 2z + x = 0 =  > z' + \frac{2}
{{zx}} + \frac{1}
{{z^2 }} + 1 = 0
\].Далее делаю замену: \[
p = \frac{1}
{z},p' =  - \frac{1}
{{z^2 }}z'
\].Получаю: \[
p' - \frac{{2p}}
{x} = p^2  + 1
\].Решаю методом вариации произвольной постоянной и получаю:\[
p = C_1 e^{x^2  - \frac{1}
{x}} 
\].Далее \[
z = \frac{1}
{p} = \frac{1}
{{C_1 e^{x^2  - \frac{1}
{x}} }}
\],\[
y = e^{\int {\frac{{dx}}
{{C_1 e^{x^2  - \frac{1}
{x}} }}} } 
\] и все на этом ступор - не могу взять интеграл! :( Может я как-то неправильно посчитала?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 21:58 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
\[ x(z' + z^2 ) + 2z + x = 0 = > z' + \frac{2} {{zx}} + \frac{1} {{z^2 }} + 1 = 0 \]
Вот этот переход поподробнее можно?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 22:08 
сначала делим на x:\[
z' + z^2  + \frac{{2z}}
{x} + 1 = 0
\],потом на \[
z^2 
\]:\[
\frac{{z'}}
{{z^2 }} + 1 + \frac{2}
{{zx}} + \frac{1}
{{z^2 }} = 0
\].извиняюсь потеряла в первом члене деление на \[
{z^2 }
\].но от етого потом ход решения не меняется(просто описка,в решении у меня есть деление,иначе бы нормальная замена \[
p' = \frac{{ - 1}}
{{z^2 }}z'
\] не получилась бы).что скажете?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 22:36 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
Получаю: \[ p' - \frac{{2p}} {x} = p^2 + 1 \].Решаю методом вариации произвольной постоянной и получаю:\[ p = C_1 e^{x^2 - \frac{1} {x}} \]
Подстановка Вашего решения не превращает уравнение в верное равенство :shock:

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 22:46 
ну тогда каким должно быть решение уравнения \[
p' - \frac{{2p}}
{x} = p^2  + 1
\]?

 
 
 
 
Сообщение22.12.2007, 13:14 
Сделайте замену $y[x]=z[x]/x$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group