максимум скалярного произведения функций

[ecartman]

Пусть для функций $f(x,t)$ и $g(y,t)$ заданных на $(x,t)=[0,\infty)\times [0,\infty)$ определена операция скалярного умножения

$$ (f,g)[x,y] = \int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,g(y,t)\,dt. $$

Рассмотрим теперь

$$ (f,f)[x,y] = \int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,f(y,t)\,dt. $$

Требуется показать, что $\sup_{x,y}(f,f)[x,y]=\sup_{x}(f,f)[x,x]$. Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:

$$ |(f,f)[x,y]|^2 \leq |(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]| $$

где равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$? И далее берется $\sup$ от правой и левой частей.

Спасибо.

[ktoto]

может быть просто равенство градиента нулевому вектору ?

[ewert]

ecartman в сообщении #920381 писал(а):

Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:

$$ |(f,f)[x,y]|^2 \leq |(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]| $$

где равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$?

Достаточно, только последнее утверждение неверно (в обоснование надо произносить совсем другие слова).

[ecartman]

ewert в сообщении #920620 писал(а):

Достаточно, только последнее утверждение неверно (в обоснование надо произносить совсем другие слова).

Что равенство достигается тогда и только тогда, когда $f(x,t)$ и $f(y,t)$ линейно зависимы?

[ewert]

ecartman в сообщении #921085 писал(а):

Что равенство достигается тогда и только тогда, когда $f(x,t)$ и $f(y,t)$ линейно зависимы?

Теперь правильно, только совершенно не нужно. Достаточно взять супремумы от обеих частей плюс ещё кое-что.

[ecartman]

ewert в сообщении #921124 писал(а):

Теперь правильно, только совершенно не нужно. Достаточно взять супремумы от обеих частей плюс ещё кое-что.

Если взять супремумы то получается, что $\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|^2\le(\sup_{x}|(f,f)[x,x]|)^2$, откуда следует что $\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|\le\sup_{x}|(f,f)[x,x]|$. Если теперь взять $x^*$ - значение в котором достигается максимум справа, то $(f,f)[x^*,x^*]\le\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|$ и отсюда следует равенство.

[ewert]

ecartman в сообщении #923018 писал(а):

Если теперь взять $x^*$ - значение в котором достигается максимум справа

Зачем? Неравенство $\sup\limits_{x}(f,f)[x,x]\leqslant\sup\limits_{x,y}|(f,f)[x,y]|$ тривиально даже независимо от того, что понимается под $(f,f)$.