2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 максимум скалярного произведения функций
Сообщение18.10.2014, 20:39 
Аватара пользователя
Пусть для функций $f(x,t)$ и $g(y,t)$ заданных на $(x,t)=[0,\infty)\times [0,\infty)$ определена операция скалярного умножения
$$
(f,g)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,g(y,t)\,dt.
$$

Рассмотрим теперь
$$
(f,f)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,f(y,t)\,dt.
$$

Требуется показать, что $\sup_{x,y}(f,f)[x,y]=\sup_{x}(f,f)[x,x]$. Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:
$$
|(f,f)[x,y]|^2
\leq
|(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]|
$$
где равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$? И далее берется $\sup$ от правой и левой частей.

Спасибо.

 
 
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение18.10.2014, 20:59 
может быть просто равенство градиента нулевому вектору ? :-)

 
 
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение19.10.2014, 08:19 
ecartman в сообщении #920381 писал(а):
Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:
$$
|(f,f)[x,y]|^2
\leq
|(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]|
$$
где равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$?

Достаточно, только последнее утверждение неверно (в обоснование надо произносить совсем другие слова).

 
 
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение20.10.2014, 00:23 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #920620 писал(а):
Достаточно, только последнее утверждение неверно (в обоснование надо произносить совсем другие слова).


Что равенство достигается тогда и только тогда, когда $f(x,t)$ и $f(y,t)$ линейно зависимы?

 
 
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение20.10.2014, 06:38 
ecartman в сообщении #921085 писал(а):
Что равенство достигается тогда и только тогда, когда $f(x,t)$ и $f(y,t)$ линейно зависимы?

Теперь правильно, только совершенно не нужно. Достаточно взять супремумы от обеих частей плюс ещё кое-что.

 
 
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение26.10.2014, 05:29 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #921124 писал(а):
Теперь правильно, только совершенно не нужно. Достаточно взять супремумы от обеих частей плюс ещё кое-что.


Если взять супремумы то получается, что $\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|^2\le(\sup_{x}|(f,f)[x,x]|)^2$, откуда следует что $\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|\le\sup_{x}|(f,f)[x,x]|$. Если теперь взять $x^*$ - значение в котором достигается максимум справа, то $(f,f)[x^*,x^*]\le\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|$ и отсюда следует равенство.

 
 
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение26.10.2014, 08:16 
ecartman в сообщении #923018 писал(а):
Если теперь взять $x^*$ - значение в котором достигается максимум справа

Зачем? Неравенство $\sup\limits_{x}(f,f)[x,x]\leqslant\sup\limits_{x,y}|(f,f)[x,y]|$ тривиально даже независимо от того, что понимается под $(f,f)$.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group