Пусть для функций

и

заданных на

определена операция скалярного умножения
![$$
(f,g)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,g(y,t)\,dt.
$$ $$
(f,g)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,g(y,t)\,dt.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/5/8f54ac11824bfc2075a287542a24214a82.png)
Рассмотрим теперь
![$$
(f,f)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,f(y,t)\,dt.
$$ $$
(f,f)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,f(y,t)\,dt.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/5/dc5297badf713ed8f628220e63d4700782.png)
Требуется показать, что
![$\sup_{x,y}(f,f)[x,y]=\sup_{x}(f,f)[x,x]$ $\sup_{x,y}(f,f)[x,y]=\sup_{x}(f,f)[x,x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/9/96994d1dc8aa1b89e5fc120e7d45f8ed82.png)
. Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:
![$$
|(f,f)[x,y]|^2
\leq
|(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]|
$$ $$
|(f,f)[x,y]|^2
\leq
|(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]|
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/f/f3f9c8b8d226372e4ec52ee099f8da5582.png)
где равенство достигается тогда и только тогда, когда

? И далее берется

от правой и левой частей.
Спасибо.