Число обусловленности решения уравнения Ляпунова

[Arastas]

Добрый день!

Рассмотрим уравнение Ляпунова:

$$A^\top P+PA=-Q,$$

где $Q=Q^\top>0$, $A$ - квадратная матрица размерности $n$, матрица $P=P^\top$ - решение уравнения. Если собственные числа матрицы $A$ лежат в открытой левой полуплоскости, то существует положительно определенное решение $P>0$.

Наболевший вопрос: известны ли какие-то результаты, позволяющие оценить возможные собственные числа матрицы $P$ или ее число обусловленности по собственным числам матрицы $A$? Как можно влиять на собственные числа матрицы $P$ варьируя матрицу $Q$? В каких случаях существует такое решение $P$, у которого все собственные числа равны?