Гидродинамика -- метод Годунова на подвижных сетках

[vadim.aries]

Делаю солвер для решения уравнений Эйлера с помощью схемы Годунова первого порядка, основанной на точном решении задачи Римана. На неподвижной сетке солвер отлажен, прошел основные тесты на различные конфигурации распадов разрыва, всё работает. Столкнулся с проблемой при решении задачи об автомодельном расширении газа в вакуум -- давление и плотность сходятся к аналитическому решению, а вот со скоростью ошибка, слишком быстро растет по модулю. Когда рассматриваю крайнюю левую ячейку, вижу, что скорость в ней растет неограниченно, обгоняет аналитическую скорость фронта. Это вроде бы следует из алгоритма схемы, но физически-то волна разрежения не может бесконечно разгоняться. :) Прошу помощи в этом вопросе. Если есть прямо такой же работающий код, было бы здорово сравнить результаты в конкретной постановке.

Ввожу подвижную сетку по принципу, как в известной монографии С.К. Годунова -- сетка равномерная, равномерно расширяется вместе с подвижной левой границей "газ-вакуум". Правая граница закреплена. Потоки через границы ячеек корректирую.

[Утундрий]

vadim.aries в сообщении #921848 писал(а):

Потоки через границы ячеек корректирую.

Здесь не очень понятно, о чём речь.

[vadim.aries]

Когда сетка движется, потоки массы, импульса и энергии через границы сетки должны учитывать также движение самих границ через вещество. В схеме Годунова первого порядка это означает добавление одного члена к потоку через каждую границу. Я имел в виду, что я эти члены добавил, не забыл.

[peregoudov]

А не могли бы вы дать какие-то ссылки на "известную монографию Годунова"?

[vadim.aries]

Да, конечно.

С. К. Годунов, А. В. Забродин, Численное решение многомерных задач газовой динамики (1976), стр. 119 и далее
Вот торрент: http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=2266400

Про метод на подвижных сетках можно еще в этой статье достаточно подробно прочесть:
A. Harten and J. M. Hyman, Self adjusting grid methods for one-dimensional hyperbolic conservation laws (1983)
Ссылка: http://math.lanl.gov/~mac/papers/numerics/HH83.pdf

[Zai]

Цитата:

Столкнулся с проблемой при решении задачи об автомодельном расширении газа в вакуум...

Задача с особенностью - плотность и давление равны нулю на границе с вакуумом (в численных реализациях нет таких значений). Конечность скорости - это скорее казус аналитического решения. Вряд ли кто-то до Вас использовал данную задачу для теста численного решения газовой динамики. Попробуйте для теста использовать заданное движение стенки с постоянной скоростью.

[Утундрий]

Уравнения Эйлера не любят вакуум. Обычно задают какую-то малую, но конечную плотность.

[vadim.aries]

Мне в любом случае нужен будет вакуум. Просто я тестирую самую простую конфигурацию с ним.

Zai, можете дать ссылку на книгу или статью с такими тестами?

Утундрий, в случае, когда нужно сделать расчет именно с вакуумом, такие подходы не работают (он выдаст другую конфигурацию распада, да и все). Расчеты с вакуумом есть, я видел их на картинках в статьях. С различными солверами и с этим тоже. Я и сам делал такой тест, но на лагранжевой схеме, не эйлеровой (уравнения те же, но переменные другие), + использовал конечно-разностную схему, а не конечно-объемную. Т.е. здесь точно существует решение, достаточно близкое к аналитическому. Просто код его пока не выдает, т.к. где-то ошибка, и я хочу ее найти, и исправить.

[Утундрий]

Ну, не знаю. Я просто вспомнил одну работу, где столкновение звёзд по Эйлеру считали. Цель была показать, что не Лагранжем единым, а вот и Эйлером, оказывается, тоже можно. (Правда там какая-то фигня в центре получалась, но это мелочи) Так вот, там явно указывалось, что лучше всё-таки задать почти вакуум нежели точный вакуум.

vadim.aries в сообщении #922614 писал(а):

в случае, когда нужно сделать расчет именно с вакуумом, такие подходы не работают

Так там и уравнения Эйлера не работают. Разреженная среда же. Больцман нужон, Папа-Карло и всё в таком духе.

[Zai]

Теста для расширения в вакуум я не знаю. Задача очень редкая - газодинамические рули для ориентации ракет в безвоздушном пространстве. Вам дал очень ценное предложение наш специалист по CFD Утундрий. Важно грамотно этим предложением воспользоваться. Если Вы решаете прикладную задачу то в ней вакуум будет представлять все-же какую-то конечную плотность и температуру (давление на высоте около 100 км - десятитысячная доля Паскаля).
Модельная задача о расширении в вакуум хорошо разобрана в "Гидродинамике" Л.Д. Ландау. Возьмите оттуда движение левой и правой границы, но та которая обращена к вакууму должна быть еще с заметной плотностью, так чтобы ограниченность мантиссы чисел с плавающей точкой не повлияли на Ваши вычисления.

[vadim.aries]

Zai, спасибо. Если резюмировать ответы:

- тест на задаче о поршне. я думаю, что попробую это, но считаю что проблема будет той же, что и с расширением в вакуум, т.к. ошибка, по-видимому, где-то в аппроксимации уравнений на подвижной сетке.
- Ландау и Лившиц, аналитическое решение задачи о расширении в вакуум -- зачитано до дыр, и продолжаю периодически читать. Иногда нахожу там новые неожиданные вещи для понимания, т.к. изложено все с очень высокого уровня владения предметом, безусловно.
- предложение взять небольшую, но конечную плотность -- годится, если случай аварийный (нет других средств, а модель нужна оперативно). У меня пока не наступил такой, и я хотел бы (прошу прощения за высокопарность) найти истину тут, разобраться именно в этом узком вопросе. Мне это интересно, я считаю, что это полезное знание, и это относится к глубоким основам. Буду дальше копать. Моя задача относится к взаимодействию лазерного излучения с веществом, вакуумная постановка мне важна.
- предложение поменять уравнения -- нет, не могу.
- задача редкая -- полезно услышать мнение со стороны. Я-то со своей колокольни считал, что туплю в элементарном общеизвестном месте на почти модельной задаче. Ну, хоть сложными вещами занимаюсь. :)
Получил ли я в итоге ответ на мой запрос? -- Да, ответы получил.
Смог ли я с помощью полученных ответов решить мою, обозначенную проблему -- Нет.
Получил ли я пользу от ответов -- Думаю, что да.

Спасибо за участие!

[Zai]

Тесты которые я решал два года назад были взяты из
https://mipt.ru/upload/483/Trud-6-kombo-arphcxl1tgs.pdf
А.В. Сафронов, Ю.В. Фомин, Метод численного решения уравнений газодинамики с помощью соотношений на разрывах,Прикладная механика, динамика жидкости и газа,ТРУДЫ МФТИ,2010,Том 2, № 2
Самый итересный тест № 3 - соотношение давлений 1000 к 0.01
Порешайте, покажите что сходится, тогда продолжим.

[vadim.aries]

Спасибо, проблема решена. :) Действительно, "линейный" подход (ставить нулевой поток) здесь не работает. В вакууме уравнения Эйлера не работают также. Необходимо специальным образом отслеживать границу, как на неподвижной сетке, так и на подвижной, и в зависимости от ее положения модифицировать поток.

Я воспользовался подходом C.D. Munz, точные ссылки на его статьи можно найти в книге Торо или в PDF, где изложен сам метод:
http://www.astro.auth.gr/documents/dipl ... Thesis.pdf

Что я понял, из этой задачи, так это то, что для описания движения свободной границы нужно, вообще говоря, еще одно уравнение, помимо уравнений Эйлера и УРС. Она сама себя не описывает -- может получиться "само" только неявным образом в случае лагранжевых переменных и простого конечно-разностного подхода с дифференцированием, как у меня и вышло сначала.

[Zai]

Цитата:

Цель была показать, что не Лагранжем единым, а вот и Эйлером, оказывается, тоже можно

(Оффтоп)

Утундрий, надо же Вас в Рождественский день по поводу темы годовой давности можно процитировать, что для меня есть вне сомнения великая честь.

А что Эйлер для ЭМ поля существует ли, напомните?

Цитата:

для описания движения свободной границы

Вероятно я не понял, но Вы утверждаете что есть граница между газом и вакуумом. Поясните, или это математический термин.

[vadim.aries]

Здравствуйте, Zai. Спасибо за внимание к теме!

Расширение газа в вакуум описано в литературе достаточно подробно. Точно есть в Ландау-Лившице (Гидродинамика), есть в Торо. Да, предполагается, что имеется граница -- как граница между средами, например, или как граница вычислительной области. Т.е. в одномерном случае точка, в двумерном кривая и т.д.