минимальная нормальная подгруппа

[spyphy]

Пусть $G$ - группа с циклической силовской $p$-подгруппой $P$ и $O_{p'}(G)=1$. Тогда: 1) $G$ имеет единственную минимальную нормальную подгруппу $S$; 2) $S$ проста.

У меня даже есть краткое доказательство этого утверждения. С п.1 там всё ясно, но п.2 не могу понять. Там написано, что $S$ простая, потому что она имеет циклическую силовскую $p$-подгруппу. Как это отсюда вытекает?

Если кому интересно док-во п.1:

(Оффтоп)

Предположим, что группа $G$ имеет две различные минимальные нормальные подгруппы $M_1 \neq M_2$. Поскольку $O_{p'}=1$, то $p \mid |M_1|$ и $p \mid |M_2|$. Тогда для $i=1,2$: $\exists T_i \leq M_i, ~ |T_i|=p$. По т. Силова $\exists P_i \in Syl_p(G): ~ T_i \subseteq P_i$. Поскольку $P_i$ --- циклическая, то $T_i$ --- единственная подгруппа порядка $p$ в $P_i$ ($i=1,2$). И поскольку по т. Силова $\exists g \in G: ~ g^{-1} P_1 g = P_2$, то $g^{-1} T_1 g = T_2 \subseteq M_2$. С др. стороны, т.к. $T_1 \leq M_1$, то $T_2 = g^{-1} T_1 g \subseteq g^{-1} M_1 g = M_1$. Таким образом, $T_2 \subseteq M_1 \cap M_2$. Получили, что $1 \neq M_1 \cap M_2 $ нормальна в $G$, что противоречит минимальности нормальных подгрупп $M_1$ и $M_2$. Следовательно, существует единственная нормальная подгруппа в $G$, которую обозначим через $S$.