Пусть

- группа с циклической силовской

-подгруппой

и

. Тогда: 1)

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

; 2)

проста.
У меня даже есть краткое доказательство этого утверждения. С п.1 там всё ясно, но п.2 не могу понять. Там написано, что

простая, потому что она имеет циклическую силовскую

-подгруппу. Как это отсюда вытекает?
Если кому интересно док-во п.1:
(Оффтоп)
Предположим, что группа

имеет две различные минимальные нормальные подгруппы

. Поскольку

, то

и

. Тогда для

:

. По т. Силова

. Поскольку

--- циклическая, то

--- единственная подгруппа порядка

в

(

). И поскольку по т. Силова

, то

. С др. стороны, т.к.

, то

. Таким образом,

. Получили, что

нормальна в

, что противоречит минимальности нормальных подгрупп

и

. Следовательно, существует единственная нормальная подгруппа в

, которую обозначим через

.