Элементарная геометрия 4

[Phaenomenon]

В продолжение предыдущих тем, хотелось бы продолжить решать элементарные геометрические задачи самым рациональным методом.
Итак, в пря­мо­уголь­ни­ке $ABCD$ со сто­ро­на­ми $AB=4$ и $BC=10$ на сто­ро­не $AD$ рас­по­ло­же­ны точки $M$ и $N$ таким об­ра­зом, что $DM=4$ при этом $P$ — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых $BN$ и $CM$. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка $MNP$ равна $1$. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки $M$ и $N$.

Рисунок:


Сразу можно обратить внимание на равнобедренный треугольник $MDC$, в котором, следовательно, $MC = 4\sqrt{2}$ , \angle DMC = \angle MCD = 45^{\circ}$. Дальше начинается самый треш, который по логике должен меня привести либо непосредственно к отрезку $MN$, либо к координатам точки $N(x_{0};0) , x_{0} - ?$ Вроде бы кажется, что этот $x$ найти легче простого, достаточно узнать длину $BN$ или координаты точки $P$. Разочарую вас. В общем, я пока красивого и изящного, хотя бы геометрического, решения не вижу, поэтому думаю надо все сводить к системе уравнений по поиску стороны $BN$. Хотелось бы услышать ваши мнения.

[gris]

Я бы воспользовался подобием треугольников и формулой площади через две стороны и угол между ними. Всё, что Вы нашли — пригодится. А какое тут может быть решение не через уравнение? Может быть и есть, впрочем. Можно и просто площадями поиграть, учитывая их пропорциональность квадратам соответственных сторон. В общем, эта задача тово.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921996 писал(а):

А какое тут может быть решение не через уравнение?

Не знаю, но если всерьез принять мой домысел относительно нахождения стороны $BN$ через, exempli gratia, треугольники $ABN$ и $BPC$, то получится нехилая такая система из 2-ух уравнений с четырьмя неизвестными.
Боюсь, тоже самое касается подобия треугольников (очевидно Вы имели в виду $MPN$ и $PBC$). Хотя.
Допустим $MP = a , MN = b$. Составим систему исходя из площадей соответствующих треугольников:

$$\left\{\!\begin{aligned} & \frac{ ab }{ 2\sqrt{2} } = 1 \\ & \frac{ 5(4\sqrt{2} - a) }{ \sqrt{2} } = S \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned} & a = \frac{ 2\sqrt{2} }{ b } \\ & S = \frac{ 5(4\sqrt{2} - \frac{ 2\sqrt{2} }{ b } ) }{ \sqrt{2} } \end{aligned}\right.$$

Откуда

$$S = \frac{ 10(2b-1) }{ b }$$

Тупик, я полагаю.

[Nemiroff]

Э-э-э. У маленького треугольника неизвестно основание $a$, его надо найти, и высота $h$.
$ah=2$,
$10(4-h)/2=(10/a)^2$.

[Батороев]

Phaenomenon в сообщении #921989 писал(а):

$DM=4$

На мой взгляд, это условие излишнее.

[Someone]

Phaenomenon в сообщении #922068 писал(а):

Допустим $MP = a , MN = b$.

Параметры $a$ и $b$ не являются независимыми, так как выбор точки $N$ однозначно определяет положение точки $P$. Поэтому имеется ещё одно соотношение между $a$ и $b$. Если уж Вы ввели систему координат, так напишите уравнения прямых $BN$ и $CM$ и найдите точку $P$.

[Батороев]

Батороев в сообщении #922218 писал(а):

Phaenomenon в сообщении #921989 писал(а):

$DM=4$

На мой взгляд, это условие излишнее.

Т.е. величина основания не зависит от положения т. $P$ (доказывается через подобие треугольников, образованных наклонными прямыми). Поэтому т. $P$ можно перенести на одну из сторон прямоугольника и рассмотреть треугольник, образованный с внешней стороны прямоугольника указанной стороной, продолжением основания и наклонной прямой, проходящей через т. $P$.

[gris]

Батороев, не мог удержаться, чтобы не исполнить иллюстрацию к Вашеё замечательной теореме!

[Skeptic]

Треугольники $BPC$ и $MPN$ подобные. Из вершины $P$ проведём высоты этих треугольников. Учитывая подобие треугольников и зная площадь треугольника $MPN$, получим квадратное уравнение для высоты, а затем и выражение для длины основания $MN$.

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #922216 писал(а):

Э-э-э. У маленького треугольника неизвестно основание $a$, его надо найти, и высота $h$.
$ah=2$,
$10(4-h)/2=(10/a)^2$.

Спасибо за ответ! Но я не понимаю, откуда Вы получили $(10/a^2)$? Такое выражение получается путем подстановки $a/2$? Уж простите за глупый вопрос

Someone в сообщении #922279 писал(а):

Параметры $a$ и $b$ не являются независимыми, так как выбор точки $N$ однозначно определяет положение точки $P$. Поэтому имеется ещё одно соотношение между $a$ и $b$. Если уж Вы ввели систему координат, так напишите уравнения прямых $BN$ и $CM$ и найдите точку $P$.

Спасибо за ответ! Я так понимаю, координаты точки $P$ нам как раз таки необходимы для нахождения $h$, в треугольнике $PMN$. То есть без рассмотрения подобия треугольников. Очень оригинально! Но и затруднительно одновременно.
Итак, получил уравнения прямых для $MC: y = x-6$, для $BN: y = - \frac{ 4(x-x_{0}) }{ x_{0} }$. После решения равенства получил координаты:

$$P\left( \frac{ 10x_{0} }{ x_{0} + 4 } ; \frac{ 4(x_{0} - 6)}{ x_{0} - 4 } \right) $$

Откуда мы узнаем $h_{MN} = \frac{ 4(x_{0} - 6)}{ x_{0} - 4 }$. Думаю дальше не имеет смысла продолжать. В принципе с самого начала это не имела смысла без координаты x_{0}; а зная ее нам бы не пришлось идти столь нерациональным путем. Поэтому, к сожалению, Ваш способ не подойдет.

Батороев в сообщении #922291 писал(а):

Т.е. величина основания не зависит от положения т. $P$ (доказывается через подобие треугольников, образованных наклонными прямыми). Поэтому т. $P$ можно перенести на одну из сторон прямоугольника и рассмотреть треугольник, образованный с внешней стороны прямоугольника указанной стороной, продолжением основания и наклонной прямой, проходящей через т. $P$.

Вас понял. Иллюстрация gris'а правильно трактует Ваши мысли? Если так, то это как минимум еще одна тропинка к ответу.

Кстати, ответ должен получится $2.5$. Тут есть еще один вариант построения, но мне бы хотя бы на этот найти...

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #922379 писал(а):

Но я не понимаю, откуда Вы получили $(10/a^2)$

$(10/a)^2$.
Это коэффициент подобия $(10/a)$ в квадрате. Потому что отношение площадей. В развёрнутом виде это вот так выглядит:

$$\dfrac{\frac{1}{2}10(4-h)}{\frac{1}{2}ah}=\left(\dfrac{10}{a}\right)^2$$

С учётом $\frac{1}{2}ah=1$ получаем квадратное уравнение на $a$.

-- Чт окт 23, 2014 21:32:41 --

Phaenomenon в сообщении #922379 писал(а):

Кстати, ответ должен получится $2$.

С половиной.

[Phaenomenon]

Nemiroff, да, Вы абсолютно правы. Это я уже совсем заработался походу: готовые ответы друг с другом путаю...

ps. понял откуда взялся квадрат. забыл, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия