Вопрос о связях разных сходимостей функ.ряда

[PsixROs]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу.
1. Установить связь между сходимостью в среднем и поточечной сходимостью функционального ряда.
2. Примером показать, что из поточечной сходимости не следует равномерная.
3. Примером показать, что из сходимости в среднем не следует равномерная.

[Brukvalub]

PsixROs писал(а):

1. Установить связь между сходимостью в среднем и поточечной сходимостью функционального ряда.

Никак не связаны.

PsixROs писал(а):

2. Примером показать, что из поточечной сходимости не следует равномерная.
3. Примером показать, что из сходимости в среднем не следует равномерная.

\[f_n (x) = x^n \;,\;0 \le x \le 1\]

[PsixROs]

Brukvalub писал(а):

PsixROs писал(а):

1. Установить связь между сходимостью в среднем и поточечной сходимостью функционального ряда.

Никак не связаны.

А можно поподробнее про первый вопрос? Может какое-то доказательство есть...

[Brukvalub]

PsixROs писал(а):

А можно поподробнее про первый вопрос? Может какое-то доказательство есть...

Есть примеры - их нетрудно построить самому.

[PsixROs]

Brukvalub писал(а):

PsixROs писал(а):

А можно поподробнее про первый вопрос? Может какое-то доказательство есть...

Есть примеры - их нетрудно построить самому.

И все-таки можете подсказать, какие именно примеры...

А насчет f_n(x) = x^n, 0<=x<=1, почему он не сходится равномерно? из-за того, что в точке x=1 частичный предел равен 1, а в остальных точках 0?

[Brukvalub]

PsixROs писал(а):

почему он не сходится равномерно? из-за того, что в точке x=1 частичный предел равен 1, а в остальных точках 0?

Проверьте отрицание определения равномерной сходимости.

[Henrylee]

PsixROs писал(а):

А насчет f_n(x) = x^n, 0<=x<=1, почему он не сходится равномерно? из-за того, что в точке x=1 частичный предел равен 1, а в остальных точках 0?

Из-за то, что $\sup\limits_{x\in[0,1)} x^n$ не стремится к $0$.

[PAV]

При равномерной сходимости сохраняется непрерывность, а в данном случае она нарушается (исходные функции непрерывны, а предельная - нет)

[PsixROs]

Большое спасибо всем за ответы, очень помогли))
Только вот все-таки насчет 1-го пункта, как показать, что эти две сходимости независимы? в книге Колмогорова и Фомина есть пример последовательности, которая сходится в среднем, но не сходится поточечно, но этот пример какой-то туманный