2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос о связях разных сходимостей функ.ряда
Сообщение20.12.2007, 20:41 
Аватара пользователя
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу.
1. Установить связь между сходимостью в среднем и поточечной сходимостью функционального ряда.
2. Примером показать, что из поточечной сходимости не следует равномерная.
3. Примером показать, что из сходимости в среднем не следует равномерная.

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 20:47 
Аватара пользователя
PsixROs писал(а):
1. Установить связь между сходимостью в среднем и поточечной сходимостью функционального ряда.
Никак не связаны.
PsixROs писал(а):
2. Примером показать, что из поточечной сходимости не следует равномерная.
3. Примером показать, что из сходимости в среднем не следует равномерная.
\[f_n (x) = x^n \;,\;0 \le x \le 1\]

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 10:08 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
PsixROs писал(а):
1. Установить связь между сходимостью в среднем и поточечной сходимостью функционального ряда.
Никак не связаны.

А можно поподробнее про первый вопрос? Может какое-то доказательство есть...

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 10:10 
Аватара пользователя
PsixROs писал(а):
А можно поподробнее про первый вопрос? Может какое-то доказательство есть...
Есть примеры - их нетрудно построить самому.

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 15:08 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
PsixROs писал(а):
А можно поподробнее про первый вопрос? Может какое-то доказательство есть...
Есть примеры - их нетрудно построить самому.

И все-таки можете подсказать, какие именно примеры...

А насчет f_n(x) = x^n, 0<=x<=1, почему он не сходится равномерно? из-за того, что в точке x=1 частичный предел равен 1, а в остальных точках 0?

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 15:21 
Аватара пользователя
PsixROs писал(а):
почему он не сходится равномерно? из-за того, что в точке x=1 частичный предел равен 1, а в остальных точках 0?

Проверьте отрицание определения равномерной сходимости.

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 15:24 
Аватара пользователя
PsixROs писал(а):
А насчет f_n(x) = x^n, 0<=x<=1, почему он не сходится равномерно? из-за того, что в точке x=1 частичный предел равен 1, а в остальных точках 0?

Из-за то, что $\sup\limits_{x\in[0,1)} x^n$ не стремится к $0$.

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 15:26 
Аватара пользователя
При равномерной сходимости сохраняется непрерывность, а в данном случае она нарушается (исходные функции непрерывны, а предельная - нет)

 
 
 
 
Сообщение21.12.2007, 17:59 
Аватара пользователя
Большое спасибо всем за ответы, очень помогли))
Только вот все-таки насчет 1-го пункта, как показать, что эти две сходимости независимы? в книге Колмогорова и Фомина есть пример последовательности, которая сходится в среднем, но не сходится поточечно, но этот пример какой-то туманный

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group