Предел рекуррентной последовательности

[Otta]

sla-von в сообщении #830450 писал(а):

Получаем $|x_n-x_{n-1}|\rightarrow 0$,

а фундаментальность отсюда не следует.

[sla-von]

Otta в сообщении #830458 писал(а):

sla-von в сообщении #830450 писал(а):

Получаем $|x_n-x_{n-1}|\rightarrow 0$,

а фундаментальность отсюда не следует.

Почему?

[Cash]

Ошибочность такого рассуждения можно сразу понять, если взять последовательность
$x_n-x_{n-1}=\frac1n$

[SpBTimes]

sla-von
Стремление к нулю разности $|x_{n + p} - x_n|$ должно выполняться для любого $p$. А у вас "шаг" фиксирован.

[iifat]

SpBTimes в сообщении #830467 писал(а):

Стремление к нулю разности $|x_{n + p} - x_n|$ должно выполняться для любого $p$

Более того, оно, по определению, должно быть равномерным. Или равномерность следует из прочего? Интересненько...

-- 25.02.2014, 22:16 --

sla-von в сообщении #830450 писал(а):

По аналогии с методом Лагранжа для дифференциальных уравнений

Напоминаю: метод Лагранжа позволяет перейти от однородного уравнения к неоднородному. Решение через характеристический многочлен "работает" для постоянных коэффициентов — как для дифур, так и для возвратных последовательностей (притом, действительно, во многом аналогично — видимо, из-за аналогии производных и конечных разностей).

[sla-von]

SpBTimes, Cash
Правда ваша. Это из фундаментальности следует сближение соседей, а не наоборот. Старею, видимо.
iifat

Цитата:

Решение через характеристический многочлен "работает" для постоянных коэффициентов — как для дифур, так и для возвратных последовательностей

Похоже на то.
Большое всем спасибо!

Кстати, а есть ли другие способы найти общий член рекуррентной последовательности? И как в общем случае ищут их предел?

[ИСН]

А никак.

[SpBTimes]

sla-von в сообщении #830482 писал(а):

Кстати, а есть ли другие способы найти общий член рекуррентной последовательности? И как в общем случае ищут их предел?

всегда нужно что-то чудить. А в общем случае и вовсе тяжко

[sla-von]

ИСН
Вы прям, как даосский мудрец)))
SpBTimes
Это печально.

[Seergey]

Объясните пожалуйста, как получилость, что $x_n - x_{n - 1} = \frac{n-1}{n}(x_{n-2} - x_{n-1})$ и $x_n-x_{n-1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$

Ведь изначально дано только $ x_{n+1}=\frac{x_n+n x_{n-1}}{n+1} $, так что максимум, что можно получить $ x_{n}=\frac{x_{n-1}+n x_{n-2}}{n+1} $