1) Группа Лоренца обозначается
![$\mathrm{SO}(1,3)$ $\mathrm{SO}(1,3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/3/763a3b614b12c4f7ff016568acb2798182.png)
("один плюс, три минуса"), и кроме того, там единичный определитель. С единичным определителем группы называются
![$\mathrm{SO}(p[,q]),$ $\mathrm{SO}(p[,q]),$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/5/115180de548af3b218c4f51c84c8058382.png)
без этого ограничения -
![$\mathrm{O}(p[,q]).$ $\mathrm{O}(p[,q]).$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/6/7a6b2c8f1cd83b3b1da300e416daaa9982.png)
-) Связь групп Ли и алгебр Ли не взаимно-однозначна. У двух групп Ли может быть одна и та же алгебра Ли, но сами группы при этом различны. Причина в том, что алгебра Ли показывает структуру группы только локально, вблизи нуля или любого другого элемента группы. А сами группы могут при этом отличаться глобально. Например,
![$\mathrm{SU}(2)$ $\mathrm{SU}(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/6/1866d9f03a41e806f7f07703c8fe835182.png)
и
![$\mathrm{SO}(3)$ $\mathrm{SO}(3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/4/51436d43bd86de599f75aedd5508b4fe82.png)
именно так и отличаются: геометрически они соотносятся как сфера и половинка этой сферы (только сферы 3-мерные, но отвлекитесь от этого пока). На полусфере
![$\mathrm{SO}(3)$ $\mathrm{SO}(3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/4/51436d43bd86de599f75aedd5508b4fe82.png)
путешественник, как только дойдёт до экватора, так сразу перемещается в противоположную точку экватора, и возвращается в своё полушарие. А на сфере
![$\mathrm{SU}(2)$ $\mathrm{SU}(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/6/1866d9f03a41e806f7f07703c8fe835182.png)
аналогичный путешественник спокойно проходит в другое полушарие, и гуляет по странам, которых на полусфере просто нет! Сфера с полусферой могут быть связаны функциями, но только функция "сфера в полусферу" (как ваша
![$B^{-1}\circ A$ $B^{-1}\circ A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/5/945cd1797bb8fdf658d374a7eecf94db82.png)
) будет однозначной (хотя и не взаимно-однозначной, склеивающей), а вот функция "полусфера в сферу" (как ваша
![$A^{-1}\circ B$ $A^{-1}\circ B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/d/2dd6a09990fbede8088fdde8ef6ff32c82.png)
) должна быть двузначной (или разрывной, но это мы вообще не рассматриваем).
Вы зря называете эти функции представлениями. Представления - это несколько более узкое и специфическое понятие (обычно представления - матрицы в линейных пространствах, хотя группы могут быть сами по себе, без линейных пространств). Хотя представления
![$\mathrm{SU}(2)$ $\mathrm{SU}(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/6/1866d9f03a41e806f7f07703c8fe835182.png)
и
![$\mathrm{SO}(3)$ $\mathrm{SO}(3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/4/51436d43bd86de599f75aedd5508b4fe82.png)
отображают соотношения между самими этими группами: говорят о двузначных представлениях
![$\mathrm{SO}(3),$ $\mathrm{SO}(3),$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/b/ebb316d3d651841b11a3f3f763b736cc82.png)
описывающих частицы с полуцелыми спинами.
Аналогично, у группы
![$\mathrm{SO}(1,3)$ $\mathrm{SO}(1,3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/3/763a3b614b12c4f7ff016568acb2798182.png)
тоже есть однозначные и двузначные представления, описывающие частицы с целыми и полуцелыми спинами. Причём однозначные представления отвечают привычным тензорам различных рангов. А вот двузначные представления - есть представления группы
![$\mathrm{Spin}(1,3),$ $\mathrm{Spin}(1,3),$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/f/0bf4ef56ad7646a02d7cc2fba7faf79382.png)
которая по случайному совпадению изоморфна (accidental isomorphism) группе
![$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}).$ $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}).$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/3/bd3342dfd3518b52228d2cc48014423782.png)
И наконец, построить представление
![$\mathrm{SO}(3)$ $\mathrm{SO}(3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/4/51436d43bd86de599f75aedd5508b4fe82.png)
- ещё недостаточно, чтобы построить представление
![$\mathrm{SO}(1,3).$ $\mathrm{SO}(1,3).$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/a/65a6ae14e20b7fff3669294a49c49c6c82.png)
Есть такой пример: для спина
![$1/2$ $1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/d/d5d5564ce0bb9999695f32da6ba7af4282.png)
в трёхмерном пространстве есть только один спинор - Паули (с точностью до изоморфизма), сиречь два комплексных числа. А в 4-мерном пространстве есть уже три разных спинора: Дирака, Вейля и Майораны. Дирак - четыре комплексных числа, Вейль и Майорана - по два, но между собой они не изоморфны.