Группы SU(2), Лоренца и спин

[EvilPhysicist]

Помогите расставить точки над $i$ в вопросе о спине и его связи с группами SU(2) и Лоренца.

1) Есть группа Лоренца SO(1,4) -- группа линейных операторов, сохраняющих скалярное произведение, над 4-мерным действительным линейным пространством с метрикой $\eta_{\mu\nu}$

2) Есть группа SU(2) -- группа линейных операторов с единичным определителем, сохраняющих скалярное произведение, над 2-мерным комплексным пространством с метрикой $\delta_{\mu\nu}$

3) В группе Лорнеца есть подгруппа SO(3) -- группа поворотов, или группа линейных операторов с единичным определителем, сохраняющих скалярное произведение, над 3-мерным действительным линейным пространством с метрикой $\delta_{\mu\nu}$.

4) У групп SO(3) и SU(2) одна алгебра Ли.

И далее используем эти 4 пункта. Если у SO(3) и SU(2) одна алгебра Ли, то можно строить представления SO(3) в SU(2) и наоборот. Далее берется пространство $\mathbb C^4$ -- пространство комплексных столбцов столбцов $1\times 4$ и в него строятся два представления: представление SU(2) и представление SO(3). Причем, если $A \colon \text{SU}(2) \to \mathbb C^4$ представление SU(2) и $B \colon \text{SO}(3) \to \mathbb C^4$, то $B A^{-1}$ -- представление SO(3) на SU(2) и $A B^{-1}$ представление SU(2) в SO(3). Построить такие представление можно, потому что у SU(2) и SO(3) одна алгебра Ли. И, наконец, говорится что SO(3) подгруппа SO(1,4) и значит мы построили и представление группы Лоренца. И таким образом мы связали каждый поворот физического пространства с преобразованием SU(2) с помощью чего и строятся спиноры.

Все верно?

[Munin]

1) Группа Лоренца обозначается $\mathrm{SO}(1,3)$ ("один плюс, три минуса"), и кроме того, там единичный определитель. С единичным определителем группы называются $\mathrm{SO}(p[,q]),$ без этого ограничения - $\mathrm{O}(p[,q]).$

-) Связь групп Ли и алгебр Ли не взаимно-однозначна. У двух групп Ли может быть одна и та же алгебра Ли, но сами группы при этом различны. Причина в том, что алгебра Ли показывает структуру группы только локально, вблизи нуля или любого другого элемента группы. А сами группы могут при этом отличаться глобально. Например, $\mathrm{SU}(2)$ и $\mathrm{SO}(3)$ именно так и отличаются: геометрически они соотносятся как сфера и половинка этой сферы (только сферы 3-мерные, но отвлекитесь от этого пока). На полусфере $\mathrm{SO}(3)$ путешественник, как только дойдёт до экватора, так сразу перемещается в противоположную точку экватора, и возвращается в своё полушарие. А на сфере $\mathrm{SU}(2)$ аналогичный путешественник спокойно проходит в другое полушарие, и гуляет по странам, которых на полусфере просто нет! Сфера с полусферой могут быть связаны функциями, но только функция "сфера в полусферу" (как ваша $B^{-1}\circ A$) будет однозначной (хотя и не взаимно-однозначной, склеивающей), а вот функция "полусфера в сферу" (как ваша $A^{-1}\circ B$) должна быть двузначной (или разрывной, но это мы вообще не рассматриваем).

Вы зря называете эти функции представлениями. Представления - это несколько более узкое и специфическое понятие (обычно представления - матрицы в линейных пространствах, хотя группы могут быть сами по себе, без линейных пространств). Хотя представления $\mathrm{SU}(2)$ и $\mathrm{SO}(3)$ отображают соотношения между самими этими группами: говорят о двузначных представлениях $\mathrm{SO}(3),$ описывающих частицы с полуцелыми спинами.

Аналогично, у группы $\mathrm{SO}(1,3)$ тоже есть однозначные и двузначные представления, описывающие частицы с целыми и полуцелыми спинами. Причём однозначные представления отвечают привычным тензорам различных рангов. А вот двузначные представления - есть представления группы $\mathrm{Spin}(1,3),$ которая по случайному совпадению изоморфна (accidental isomorphism) группе $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}).$

И наконец, построить представление $\mathrm{SO}(3)$ - ещё недостаточно, чтобы построить представление $\mathrm{SO}(1,3).$ Есть такой пример: для спина $1/2$ в трёхмерном пространстве есть только один спинор - Паули (с точностью до изоморфизма), сиречь два комплексных числа. А в 4-мерном пространстве есть уже три разных спинора: Дирака, Вейля и Майораны. Дирак - четыре комплексных числа, Вейль и Майорана - по два, но между собой они не изоморфны.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #921601 писал(а):

Группа Лоренца обозначается $\mathrm{SO}(1,3)$

Munin в сообщении #921601 писал(а):

Группа Лоренца обозначается $\mathrm{SO}(1,3)$

Да, я опечатался.

Munin в сообщении #921601 писал(а):

Вы зря называете эти функции представлениями

Ок. Гомоморфизмы.

Munin в сообщении #921601 писал(а):

А вот двузначные представления - есть представления группы $\mathrm{Spin}(1,3),$ которая по случайному совпадению изоморфна (accidental isomorphism) группе $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}).$

accidental isomorphism это строгий термин или просто констатация факта?

Munin в сообщении #921601 писал(а):

А в 4-мерном пространстве есть уже три разных спинора:

Ок, понятно. Все сводится к тому, что строят представление $\mathrm{SO}(1,3)$. Как строят?
Надо же, как минимум установить связь между генераторами $\mathrm{SO}(1,3)$ и $\mathrm{SU(2)}$, чтобы получить спиноры. Как это делается? Где прочитать про это?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #921614 писал(а):

accidental isomorphism это строгий термин или просто констатация факта?

Кажется, строгий термин. Я из англоязычной Википедии списывал. Суть в том, что есть серии групп $\mathrm{GL,SL,O,SO,U,SU,Spin,Sp,}$ определённые для произвольной размерности (и иногда для произвольного поля, над которым соответствующие матрицы), а для малых конкретных размерностей между ними встречаются изоморфизмы, которые для больших размерностей в общем случае не выполняются.

EvilPhysicist в сообщении #921614 писал(а):

Где прочитать про это?

Самому интересно. Я вот Википедию читаю. Ещё на эту тему было обсуждение раньше «Вопрос про гравитацию и бозон Хиггса» (где-то на 3-й странице), там меня перегрузили информацией :-)
Ещё книжка Гельфанд, Минлос, Шапиро.

[EvilPhysicist]

Когда-то в книге Степаньянца "Классическая теория поля" я прочитал, что это можно сделать, по крайней мере для Дираковских спиноров.
Если $J^k$ -- генератор поворотов $SO(1,3)$, $I^k$ -- генератор бустов, $\sigma^k$ -- сигма-матрицы, по совместительству генераторы $\mathrm{SU(2)}$. Тогда если преобразование Лоренца

$$ {x'}^\mu = \exp\left[ i \left( J^k \varphi_k + I^k v_k \right) \right] $$

то преобразование спиноров записываем так

$$ \psi'(x') = \exp\left[ i \cfrac12 \sigma^k \varphi_k\right] ~. $$

Как-то так, по крайней мере мне так помнится.

[Munin]

Нет, если заранее знать ответ, то прийти к нему, конечно, можно по-разному. Я думал, вопрос в том, как прийти к нему, не зная ответа.

Связь между генераторами установить просто: достаточно выписать их коммутационные соотношения. Для этого их и пишут!

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #921720 писал(а):

Я думал, вопрос в том, как прийти к нему, не зная ответа.

Да, в этом и вопрос, но ответа-то мы, как я понял, не знаем. Поэтому чтобы найти ответ на вопрос "как получить ответ" я решил написать ответ на него, на случай если станет понятно как получить ответ на наш вопрос.

Munin в сообщении #921720 писал(а):

Связь между генераторами установить просто: достаточно выписать их коммутационные соотношения. Для этого их и пишут!

Мне казалось это и позволит построить нужные представления.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #921753 писал(а):

Да, в этом и вопрос, но ответа-то мы, как я понял, не знаем.

Да нет, я не знаю. А вообще задача построения представлений заданной группы Ли (конечномерных!), как я понимаю, сравнительно проста и решена. Откуда-то же берутся все эти правила, скажем, в ЛЛ-3 главах про момент и спин.

EvilPhysicist в сообщении #921753 писал(а):

Мне казалось это и позволит построить нужные представления.

Наверное, да. Но я просто не знаю, чего в супе не хватает.

[Munin]

Собственно, в теме по ссылке на 3-й странице как раз всё расписано про построение представлений. Сейчас перечитываю, и легче понимать...