Элементарная геометрия 3

[Phaenomenon]

Все, что я писал ранее неверно. Начинаю заново.
Итак, первым делом, имея все данные координаты, нахожу $\left| \overrightarrow{AD} \right| = \sqrt{97} $. Известно, что $CD$ делится точкой $O$ в отношении $1:3$ , следовательно $\left| \overrightarrow{OA} \right| = \frac{ 3\sqrt{97} }{ 4 } $, а \left| \overrightarrow{OD} \right| = \frac{ \sqrt{97} }{ 4 }. Дальше была идея, зная сторону $AC$ и $AD$ , найти преспокойно $\cos{ \gamma }$ из скалярного произведения, чтобы далее найти $OC$ по теореме косинусов, которая, уже к этому времени, доказана нами как половина медианы, каковая есть еще и диаметр(то есть просто на $2$ умножить и жить спокойно). Но. Ни доказанной медианы, ни нормального косинуса не получается. Поэтому эту часть я бы хотел чтобы Вы посмотрели.

С высотой все гораздо легче. Во-первых, конечно же, доказать, что $CN$ высота, а далее найти уравнение прямой $AB$ ( $y = 3x +4y -36$) и найти расстояние от $C$ к этой прямой. Выходит, действительно $36/5$ , то есть $7,2$. Это правильный ответ.

Выходит не такой уж и простой этот ваш векторный метод, но мне он уже начинает бесконечно нравится

Хотелось бы добавить про необходимость и возможность нахождения координат точки $O$. Насколько я знаю, чтобы задать координаты точки окружности, необходимо составить уравнение окружности. Соответственно здесь оно нормальное, то есть $x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Как исходя из этого найти координаты ее центра?

-- 21.10.2014, 16:34 --

gris в сообщении #921571 писал(а):

Можно определить точку $M$ как продолжение отрезка $CO$ на такое же расстояние за точку $O$.

Но нам же неизвестно $CO$ , как мы, следовательно, будем что-то откладывать на соответствующую длину, не имея таковой? По линейке, если только

[gris]

Опять отсылаю Вас к Погорелову. У него есть пункт про уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$. И не забывайте, что у нас начало координат в точке $C$, а оси направлены по катетам. Центр окружности — точка $O$, а её радиус — длина отрезка $CO$.

Чтобы удвоить вектор, достаточно удвоить его проекции(ю). Откладывать ничего не надо. Мы не насекомые и не ленивцы в смысле ленивые люди.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921575 писал(а):

Опять отсылаю Вас к Погорелову. У него есть пункт про уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$. И не забывайте, что у нас начало координат в точке $C$, а оси направлены по катетам. Центр окружности — точка $O$, а её радиус — длина отрезка $CO$.

Ох, точно, перепутал
Хорошо, тогда, имея $C (0;0)$ и то, что $CO = R$ , нам все равно не хватает данных для построения уравнения окружности. Или, из уравнения $\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2$ выходит $x^{2} + y^{2} = r^{2} $ , что неверно. Сейчас Погорелов перед глазами, и такого случая он не объясняет.

-- 21.10.2014, 16:58 --

Если честно, Ваш метод доказательства я понять не могу. Но у меня тут идея проскочила: доказывать от обратного. То есть сначала сделать предположение, что $CM$ медиана, тогда и только тогда, когда $S_{CMB} = S_{CMA}$. Тем более они получаются равнобедренными. То есть можно было даже рассматривать их подобие, только к сожалению, не очевидное (то есть нет признака, по которому их определять как подобные).

[gris]

А что если нам провести через точку $O$ прямую, параллельную $AB$? Отсечётся треугольничек, подобный исходному. И тут вспомним мудрый совет Батороева, замечательно работающий тут. Наша окружность окажется описанной около маленького треугольника! Ну а потом — подобие.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921586 писал(а):

А что если нам провести через точку $O$ прямую, параллельную $AB$? Отсечётся треугольничек, подобный исходному. И тут вспомним мудрый совет Батороева, замечательно работающий тут. Наша окружность окажется описанной около маленького треугольника! Ну а потом — подобие.

Великолепная идея! Но одновременно доказывающая нам, что аналитически доказать мы медиану не способны.
Как будем поступать с высотой? Просто перпендикуляр из $C$ к $BC$ не пойдет.

[gris]

Если докажем медиану, то высота докажется сама собой. Ведь она — сторона вписанного в окружность треугольника $CMN$, одна из сторон которого является диаметром окружности. Отсюда сразу следует, что угол $\angle MNC$ — прямой!

[Phaenomenon]

gris, можете объяснить, как Вы получили это уравнение: $x^2+y^2-4.5x-6y=0$ ? Я так понимаю,это уравнение заданной окружности

[gris]

Как я его получил? Скобки раскрыл. Подобные привёл.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921595 писал(а):

Как я его получил? Скобки раскрыл. Подобные привёл.

А исходя из чего Вы его раскрыли? У нас же даны только координата $C(0;0)$. Если подставить в формулу, то получится нормальное уравнение окружности.
Да и вообще, зачем оно надо было?

[gris]

Ценр окружности не в точке $C$, а в точке $O$. В $C$ у нас начало координат. Надо найти координаты точки $O$. На словах это получается совсем просто, а в записи, пожалуй, хлопотно будет.

[Phaenomenon]

Что же, теперь наконец, можно подвести итог, что координатный метод в несколько раз сложнее обычного.

[gris]

Вот именно этого я и добивался! Вы это признали на своём опыте. А ведь я всегда говорил, что школьные задачи надо решать геометрическими методами, а линейная алгебра она для другого. И вот теперь никто не упрекнёт меня в одиночестве. Нас — двое!

[Munin]

Phaenomenon в сообщении #921602 писал(а):

Что же, теперь наконец, можно подвести итог, что координатный метод в несколько раз сложнее обычного.

Автомобиль в несколько раз сложнее самоката. Однако в то же время и мощнее.

gris в сообщении #921603 писал(а):

А ведь я всегда говорил, что школьные задачи надо решать геометрическими методами, а линейная алгебра она для другого.

Некоторые школьные задачи мне удавалось успешней решать координатами и векторами, чем элементарно-геометрическими методами, которые нам навязывали. И учитель, читая моё решение, соглашался со мной, что так проще. Так что, многое от конкретной задачи зависит.

[gris]

Мне в начале показалось, что это именно для координатного метода задача и решается чуть ли не устно. Но потом ТС меня убедил, что геометрическое решение изящнее и красивее.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921603 писал(а):

Вот именно этого я и добивался! Вы это признали на своём опыте. А ведь я всегда говорил, что школьные задачи надо решать геометрическими методами, а линейная алгебра она для другого. И вот теперь никто не упрекнёт меня в одиночестве. Нас — двое!

gris, это совершенно не исключает того, что данный метод мне не понравился
Разница во времени: если я все 6 лет решал задачи чисто геометрическим способом, то векторный способ я использую ровно 2 дня. Представьте, какого было бы мое изумление геометрическому способу, если бы все 6 лет я решал все аналитически.