О контактных симметриях систем УРчП

[VanD]

Не секрет, что, контактные симметрии, отличные от продолженных точечных, у систем УРчП отсутствуют, но это относится к симметриям всего (объемлющего) пространства струй системы, тогда как преобразования, отличные от точечных и сохраняющие касание только на решениях данной системы иногда всплывают. Это связано (насколько я понимаю) с тем, что не всякое контактное преобразование поверхности, представляющей собой рассматриваемую систему, продолжаемо до контактного преобразования объемлющего пространства. В связи с этим вопрос: насколько хорошо эта ситуация изучена и в каких источниках можно найти хоть что-то по этому вопросу?

[пианист]

Типа такого http://www.math.umn.edu/~olver/s_/v.pdf ?

[VanD]

Насколько я понимаю, там об этом ничего нет.
Такое впечатление, что все после теоремы Бэклунда как-то свыклись с мыслью, что для систем ничего хорошего уже не будет в принципе.
Речь именно о том, что у систем уравнений всплывают аналоги контактных симметрий, но эти симметрии не сохраняют всего т.н. распределения Картана, а только его подраспределение (пересечение исходного распределения с поверхностью, представляющей систему в пространстве струй). Интересует именно следующая ситуация: такие системы можно искусственно получать, например, взяв одно уравнение 1-ого порядка на 1 зависимую переменную, второе на обе зависимых некоторого специального вида. Соответственно, вопрос такой: всегда ли наличие такой симметрии у системы означает её декомпозируемость, то есть всегда ли такая симметрия оказывается унаследованной контактной симметрией от отделяющегося уравнения?

[пианист]

VanD в сообщении #921521 писал(а):

симметрии не сохраняют всего т.н. распределения Картана, а только его подраспределение (пересечение исходного распределения с поверхностью, представляющей систему в пространстве струй)

Навскидку, для "нормальных" систем учп разницы не будет, что сначала наложить на оператор группы условие сохранения дифференциальной структуры, а затем потребовать его касания многообразию системы, что опустить дифференциальную структуру на многообразие системы, и уже там искать ее симметрии. Этот вопрос, в числе прочих подобных, рассматривался цитируемой в этом обзоре компанией, где и когда, сори, не скажу, не помню. Покопайтесь по ссылкам.
Можете еще глянуть работы О.В.Капцова и А.А.Талышева, они что-то подобное пытались делать, точнее не скажу - давно это было.

VanD в сообщении #921521 писал(а):

Интересует именно следующая ситуация: такие системы можно искусственно получать, например, взяв одно уравнение 1-ого порядка на 1 зависимую переменную, второе на обе зависимых некоторого специального вида. Соответственно, вопрос такой: всегда ли наличие такой симметрии у системы означает её декомпозируемость, то есть всегда ли такая симметрия оказывается унаследованной контактной симметрией от отделяющегося уравнения?

Тут извиняюсь, совершенно не понял, о чем Вы.

[VanD]

Приведу пример: система

$ \begin{cases} xu_x + 2u_y - 2u = 0\\ u_x = v \end{cases} $$ $

допускает следующую симметрию:

$ \begin{cases} x' = x - 2au_x\\ y' = y\\ u' = u - 2a(u_x)^2\\ (u_x)' = u_x\\ (u_y)' = u_y\\ v' = v\\ (v_x)' = \frac {v_x}{1 - 2av_x}\\ (v_y)' = \frac {v_y}{1 - 2av_x} \end{cases} $$ $

Оператор её касается поверхности, но самим преобразованием касания сохраняются только у поверхностей, лежащих в гиперплоскости $u_x = v$. Таким образом, получилась искусственная система, у которой есть унаследованная от уравнения $xu_x + 2u_y - 2u = 0$ контактная симметрия (преобразование первых 5 координат это контактная симметрия отдельно рассмотренного уравнения $xu_x + 2u_y - 2u = 0$), которая в данном 8-мерном пространстве удовлетворяет условию контактности не везде, но на решениях удовлетворяет.
Понятно, что эта система имеет специфический вид, но при точечных заменах переменных в пространстве струй будут получаться системы, эквивалентные данной, про которые уже не так просто будет сказать, насколько их вид "специфический". Собственно вопрос был о том, всегда ли описанная ситуация означает, что рассматриваемая система эквивалентна системе, у которой одно из уравнений отделяется.

[пианист]

Вы с числами напутали, 2 в выражении для $u'$, видимо, лишняя.
Но неважно, кажется, я понял, что Вы имели в виду.
Нет, так не получится. Оператор $2u_x \frac{\partial}{\partial x} + {u_x}^2 \frac{\partial}{\partial u}$ сохраняет равенство $du-u_xdx-u_ydy=0$, да, но его никак не получится достроить до оператора в переменных $(x,y,u,v,u_x,u_y,v_x,v_y)$, который бы сохранял пару равенств $du-u_xdx-u_ydy=0, dv-v_xdx-v_ydy=0$ - теорема Беклунда, увы. Так что Ваше преобразование неизбежно будет разрушать смысл обозначений производных.

-- Ср окт 22, 2014 08:45:40 --

upd Сори, был неправ, глянул только формулы, но не вчитался в текст ;)
Т.е. Вы хотите сказать, что равенства $du-u_xdx-u_ydy=0, dv-v_xdx-v_ydy=0$ все же сохраняются с учетом Ваших учп?
Такое, в принципе, возможно, хотя и, насколько помню, для экзотических систем уравнений. Только не совсем понимаю, причем здесь декомпозиция?
Поправьте, плз, свои формулы, чтобы можно было дальше смотреть.

[VanD]

К сожалению, не могу отредактировать предыдущее сообщение, так что исправлю здесь:
Для системы

$ \begin{cases} xu_x + 2u_y - 2u = 0\\ u_x = v \end{cases} $$ $

Рассматривается в некотором смысле симметрия

$ \begin{cases} x' = x - 2au_x\\ y' = y\\ u' = u - a(u_x)^2\\ (u_x)' = u_x\\ (u_y)' = u_y\\ v' = v\\ (v_x)' = \frac {v_x}{1 - 2av_x}\\ (v_y)' = \frac {v_y}{1 - 2av_x} \end{cases} $$ $

По поводу декомпозиции - это скорее что-то интуитивное, в стиле: "откуда же им браться, таким симметриям, кроме как от отделяющегося уравнения".
Тут ещё дело вот в чём: например, у систем вида

$ \begin{cases} u_y = F(x, y, u, u_x)\\ u_x = G(x, y, u, v) \end{cases} $$ $

такие симметрии неизбежно возникают, если у уравнения $u_y = F(x, y, u, u_x)$ есть контактные симметрии, такие, что их продолжение на пространство 2-струй сохраняет не только ядро всей контактной структуры, но и, например, подсистему вида

$ \begin{cases} du - u_xdx - u_ydy = 0\\ du_x - u_{xx}dx - u_{xy}dy = 0 \end{cases} $$ $

Собственно, стало интересно, всегда ли у систем такие симметрии возникают только как в некотором смысле унаследованные от отделяющегося уравнения.
В связи с этим, Вы не подскажете источников, где встречались с такой ситуацией (в смысле, с такими симметриями для систем)?

[пианист]

Да, действительно, все верно. Это тот самый экзотический случай.

VanD в сообщении #921827 писал(а):

Тут ещё дело вот в чём: например, у систем вида
такие симметрии неизбежно возникают, если у уравнения $u_y = F(x, y, u, u_x)$ есть контактные симметрии, такие, что их продолжение на пространство 2-струй сохраняет не только ядро всей контактной структуры, но и, например, подсистему вида
$du - u_xdx - u_ydy = 0$
$du_x - u_{xx}dx - u_{xy}dy = 0$

Тут я опять потерял нить. Какие "если"? Контактное преобразование обычным образом продолжается на следующие производные, какие проблемы. Только для чего Вам вторые производные, если интересующая система имеет первый порядок. Вот, напротив, сохранение второго уравнения дифференциальной структуры $dv-v_xdx-v_ydy=0$, да, создает трудности.

VanD в сообщении #921827 писал(а):

В связи с этим, Вы не подскажете источников, где встречались с такой ситуацией (в смысле, с такими симметриями для систем)?

Ну вот, именно в том направлении, которое я указал. В одной из статей кого-то из этой компании (если это не шуточки склероза, Блюмана) была буквально Ваша задача. Там выводился какой-то то ли признак, то ли критерий, когда система учп обладает нетривиальными симметриями такого типа.
Короче говоря, надо пошарить по ссылкам. Будет время, сам тоже попробую вспомнить и/или погуглить.

(Оффтоп)

Исторического анализа я, ест-но, не проводил, но так, по ощущениям ситуация была примерно следующая: тематика группового анализа диффуров некоторое время (где-то конец 70-х - 80-е) пользовалась повышенным вниманием математиков, впечатленных успехом Овсянникова и его учеников. Пытались, ест-но, что-то развивать, обобщать, в том числе и в этом направлении. В России больше всего в эту сторону пытался рыть Е.М. Воробьев. Ярких результатов на выходе как-то так не случилось, поэтому интерес быстро сошел на нет.

[VanD]

Тут дело вот в чём, в такой специфической системе можно $u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}$ выразить через не более, чем первые производные от $u$ и $v$. По поводу Вашего замечания, контактные симметрии продолжаются на пространство 2-струй так, что они сохраняют систему
$ \begin{cases} du - u_xdx - u_ydy = 0\\ du_x - u_{xx}dx - u_{xy}dy = 0\\ du_y - u_{xy}dx - u_{yy}dy \end{cases} $ $
При этом они могут и не сохранить подсистему
$ \begin{cases} du - u_xdx - u_ydy = 0\\ du_x - u_{xx}dx - u_{xy}dy = 0 \end{cases} $ $
а она-то нам и поможет. Поясню для приведённого изначально примера:
в нём $dv - v_xdx - v_ydy = 0$ сохраняется на решениях просто потому, что продолжение преобразования первых 5 координат в пространство 2-струй первого уравнения $xu_x + 2u_y - 2u = 0$ сохраняет отдельно и условие $du_x - u_{xx}dx - u_{xy}dy = 0$, а в силу уравнения $u_x = v$, $u_{xx} = v_x$, $u_{xy} = v_y$, то есть сохранение $dv - v_xdx - v_ydy = 0$ есть просто унаследованное (в силу системы) сохранение $du_x - u_{xx}dx - u_{xy}dy = 0$ из другого 8-мерного пространства.

[пианист]

Вот, нашел немного по теме: http://librarum.org/book/8293/188
Правда, похоже, автор вопрос только по полочкам раскладывает.