Суперметрика де Витта - помогите найти ошибку

[Ascold]

У Пономарёва, Барвинского и Обухова в книге "Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий" на стр. 39 есть следующие формулы:
$G^{abcd}=(1/2)g^{1/2}(2g^{ab}g^{cd}-g^{ac}g^{bd}-g^{ad}g^{bc})$ (2.89)
и
$G_{abcd}=(1/2)g^{1/2}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}-g_{ab}g_{cd})$
При этом должно выполняться
$G_{abcd}G^{cdef}=\delta^{ef}_{ab}$ (2.89а)
Я в программе "математика" установил, что символ Кронекера не получается. Потыкавшись, нашёл опечатки в ковариантной суперметрике, получилось
$G_{abcd}=-(1/2)g^{-1/2}(g_{aс}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}-g_{ab}g_{cd})$ ,
но что-то неладно ещё (символ Кронекера "почти" получился, кое-где 1/2 вместо 1).
Контрвариантная суперметрика записана верно, я это проверил, сравнивая $\pi^{ab}$, полученные с её помощью и независимо.
Буду признателен, если кто-то подскажет правильный вид $G_{abcd}$.

[fizeg]

Должно получаться что-то в таком духе (правильно поправили степень в ковариантной) Проверьте расстановку индексов

-- 21.10.2014, 00:10 --

Кстати.

Ascold в сообщении #921335 писал(а):

$G_{abcd}G^{cdef}=\delta^{ef}_{ab}$ (2.89а)

Что вы имеете в виду в правой части? Должно быть, если не вру, что-то вроде
$\frac{1}{2}\Big(\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{e}\Big)$
вот наверное и ваши половинки

[Ascold]

Я сам в первом посте опечатался)) На деле я пока ищу ошибку в следующем выражении:
$G_{abcd}=-(1/2)g^{-1/2}(g_{ac}g_{bd}+g_{ad}g_{bc}-g_{ab}g_{cd})$ (а)

Цитата:

Что вы имеете в виду в правой части? Должно быть, если не вру, что-то вроде
$\frac{1}{2}\Big(\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{e}\Big)$
вот наверное и ваши половинки

К сожалению, нет - у обобщённого четырёхиндексного символа Кронекера иной вид, он состоит из плюс-минус единиц и нулей.
Ну и то, формула (а) имеет ошибку, я обнаруживаю ещё одним способом - вычислением с её помощью и независимо иных величин.

[fizeg]

Ascold
Как разность??? Как вы это с симметриями суперметрики согласовываете?

-- 21.10.2014, 00:35 --

Достал Kiefer'а, свертка именно такая как у меня.

$G_{abcd}=\frac{1}{2\sqrt{g}}(g_{ac}g_{bd}+g_{ad}g_{bc}-g_{ab}g_{cd})$
$G^{abcd}=\frac{\sqrt{g}}{2}(g^{ac}g^{bd}+g^{ad}g^{bc}-2g^{ab}g^{cd})$
$G^{abcd}G_{cdef}=\frac{1}{2}(\delta_e^a\delta_f^b+\delta_f^a\delta_e^b)$

-- 21.10.2014, 00:36 --

У вас там никаких фермионных координат нет?

[Ascold]

Цитата:

Ascold
Как разность??? Как вы это с симметриями суперметрики согласовываете?

Пардон, Вы правы, это я фигню выше написал. Оказывается, в разной литературе разные вещи обозначаются обобщённым дельта-символом. Я же в поисках опечатки минус адресовал не тому слагаемому. Резюмируя дискуссию:
В книге Пономарёва, Барвинского, Обухова опечатка - написано
$G^{abcd}=(1/2)g^{1/2}(2g^{ab}g^{cd}-g^{ac}g^{bd}-g^{ad}g^{bc})$
$G_{abcd}=(1/2)g^{1/2}(g_{ac}g_{bd}+g_{ad}g_{bc}-g_{ab}g_{cd})$
Вместо этого должно быть
$G_{abcd}=\frac{1}{2\sqrt{g}}(g_{ac}g_{bd}+g_{ad}g_{bc}-g_{ab}g_{cd})$
$G^{abcd}=\frac{\sqrt{g}}{2}(g^{ac}g^{bd}+g^{ad}g^{bc}-2g^{ab}g^{cd})$

Цитата:

Достал Kiefer'а

Буду признателен, если укажете название этой книги или статьи.

[fizeg]

Claus Kiefer, Quantum gravity
Не уверен, что лучшая книжка на эту тему (геометродинамика и квантовая космология) но в принципе и не худшая. Главная беда - он большой болтун