Гармоническая функция

[Lion]

Есть функция $u$, гармоническая в облсти $Q\setminus L$ и ограниченная в ней, где $Q=\{(x_1,x_2,x_3):x_1^2+x_2^2<1, |x_3|<1\}$ и $L=\{(0,0,x_3):|x_3|<1/2\}$. Как доказать, что функция $u$ может быть продолжена на весь $Q$ гармонически?

Я рассматриваю функцию $u$ на слоях при $x_3=const$. Если при этом получается гармоническая функция в круге без центра, то по известной теореме из комплана ее можно продолжить гармонически и в центр. Но проблема в том, что на слоях гармоническая функция не обязана быть гармонической. Как быть тогда?

[RIP]

Или я туплю, или одно из двух. Вроде бы функция $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}$ гармоническая в $\mathbb R^3\setminus\{0\}$.

Да и $\ln(x_1^2+x_2^2)$ гармоническая в $\mathbb R^2\setminus\{0\}$...

Там никаких условий типа ограниченности не пропущено?

[Lion]

Да, действительно, забыл про ограниченность $u$ в $Q\setminus L$.

[Lion]

Если рассмотреть не только сечения $x_3=const$, но и $x_1$, $x_2=const$, то в сечении получается гармоническая функция, если одна из вторых частных производных, содержащих $x_3$ , равна 0. Но что делать, если это не так

[RIP]

А разве нельзя доказать точно так же, как доказывается теорема об устранимой особенности для гармонических функций?
Обозначим

$$\Omega_r=\{x_1^2+x_2^2<r,|x_3|<2/3\}$$

. Пусть $v(x)$ --- решение задачи Дирихле

$$\left\{\begin{aligned}\Delta v=0&,\ x\in\Omega_{1/2},\\v\bigr|_{\partial\Omega_{1/2}}=u&.\end{aligned}\right.$$

Рассмотрим функцию $w=u-v$. Это ограниченная гармоническая функция в $\Omega_{1/2}\setminus L$, $w\bigr|_{\partial\Omega_{1/2}}=0$. Берём любое $\varepsilon>0$. Если $r>0$ достаточно мало, то на границе области $\Omega_{1/2}\setminus\overline\Omega_{r}$ будет выполняться

$$|w|\leqslant\varepsilon|\ln(x_1^2+x_2^2)|$$

. В силу принципа максимума это же верно и в самой области. Поэтому в $\Omega_{1/2}\setminus\{x_3=0\}$ выполняется

$$|w|\leqslant\varepsilon|\ln(x_1^2+x_2^2)|$$

для любого $\varepsilon>0.\qed$