2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Гармоническая функция
Сообщение19.12.2007, 18:47 
Аватара пользователя
Есть функция $u$, гармоническая в облсти $Q\setminus L$ и ограниченная в ней, где $Q=\{(x_1,x_2,x_3):x_1^2+x_2^2<1, |x_3|<1\}$ и $L=\{(0,0,x_3):|x_3|<1/2\}$. Как доказать, что функция $u$ может быть продолжена на весь $Q$ гармонически?

Я рассматриваю функцию $u$ на слоях при $x_3=const$. Если при этом получается гармоническая функция в круге без центра, то по известной теореме из комплана ее можно продолжить гармонически и в центр. Но проблема в том, что на слоях гармоническая функция не обязана быть гармонической. Как быть тогда?

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 09:00 
Аватара пользователя
Или я туплю, или одно из двух. Вроде бы функция $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2}$ гармоническая в $\mathbb R^3\setminus\{0\}$. :?

Да и $\ln(x_1^2+x_2^2)$ гармоническая в $\mathbb R^2\setminus\{0\}$...

Там никаких условий типа ограниченности не пропущено?

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 16:10 
Аватара пользователя
Да, действительно, забыл про ограниченность $u$ в $Q\setminus L$. :oops:

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 20:34 
Аватара пользователя
Если рассмотреть не только сечения $x_3=const$, но и $x_1$, $x_2=const$, то в сечении получается гармоническая функция, если одна из вторых частных производных, содержащих $x_3$ , равна 0. Но что делать, если это не так :?:

 
 
 
 
Сообщение20.12.2007, 23:46 
Аватара пользователя
А разве нельзя доказать точно так же, как доказывается теорема об устранимой особенности для гармонических функций?
Обозначим $$\Omega_r=\{x_1^2+x_2^2<r,|x_3|<2/3\}$$. Пусть $v(x)$ --- решение задачи Дирихле
$$\left\{\begin{aligned}\Delta v=0&,\ x\in\Omega_{1/2},\\v\bigr|_{\partial\Omega_{1/2}}=u&.\end{aligned}\right.$$
Рассмотрим функцию $w=u-v$. Это ограниченная гармоническая функция в $\Omega_{1/2}\setminus L$, $w\bigr|_{\partial\Omega_{1/2}}=0$. Берём любое $\varepsilon>0$. Если $r>0$ достаточно мало, то на границе области $\Omega_{1/2}\setminus\overline\Omega_{r}$ будет выполняться $$|w|\leqslant\varepsilon|\ln(x_1^2+x_2^2)|$$. В силу принципа максимума это же верно и в самой области. Поэтому в $\Omega_{1/2}\setminus\{x_3=0\}$ выполняется $$|w|\leqslant\varepsilon|\ln(x_1^2+x_2^2)|$$ для любого $\varepsilon>0.\qed$

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group