Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева

[ktoto]

Евгений Машеров в сообщении #921137 писал(а):

Для определённости. И только. Жизнь упрощается.
И, кстати, если взглянуть на приведенную Вами на рисунке формулу - он единица по построению.

Да жизнь действительно упрощается, с коэффициентом $1$ при $x$, но какие достаточные условия для того чтобы там была именно единица ведь:
рекуррентное соотношение для ортогональных многочленов имеет вид:

$p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x)$

Если что, обсуждаем уже тоже самое в соседней ветке topic88629.html

[Евгений Машеров]

Положить $A_n$ равным единице.

(Оффтоп)

Поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность

[ktoto]

Евгений Машеров в сообщении #921437 писал(а):

Положить $A_n$ равным единице.

Было бы здорово если так, но в википедии пишут, что нужно выбрать правильную нормировку.


Ортогональные многочлены. По рекуррентным формулам - плохо что без доказательства.

Может быть посмотрите, вот здесь попытка нормировки: post921522.html#p921522

[Евгений Машеров]

Очень медленно и траурно. Если многочлен степени n имеет коэффициент при старшем члене равный единице, то, вычисляя многочлен степени (n+1) по приведенной формуле, член степени (n+1) многочлена этой степени мы получим, умножив старший член многочлена степени n на x, так что коэффициент при нём будет единица. Входящие в формулу коэффициенты альфа и гамма на это не влияют, альфа может изменить лишь коэффициенты при членах степени n и менее, а гамма - (n-1) и менее.
Если начинать с многочлена $p_0=1$ или с $p_1=x$, то равенство единице старших коэффициентов у всех, вычисленных по данной формуле, может быть доказано строго по индукции (хотя, по-моему, это слишком крупный калибр, и данный факт очевиден - но если нужна гиперстрогость...)

[ktoto]

iifat в
сообщении #921113 писал(а):

ktoto в сообщении #898201 писал(а):

писал:
В дискретном случае имеем такой вид скаляного произведения: $(T_k,T_m)=\sum\limits_{i=0}^{N-1}T_k(x_i)T_m(x_i)w(x_i)$

Что-то мне тут не нравится. Таки да, многочлены Чебышева ортогональны на отрезке $[-1,1]$, но отсюда не следует ортогональность на любом, произвольном отрезке. Разумеется, можно растянуть и нормировать, но это будут растянутые в обоих направлениях многочлены Чебышева. Некая разница наличествует.

В приведённом выше скалярном произведение, есть такая штука как вес, она как раз и принуждает даже положительные на всём интервале функции быть ортогональными. Хотя конечно лучше сделать функцию веса ближе к поведению классических ортогональных многочленов и например предварительно отразить интервал ортогональности.

$\\ \\ l:[x_1, x_n] \rightarrow [-1, 1]$

Однако вес в дискретном виде, как я понимаю, понадобится в любом случае.

[ewert]

ktoto в сообщении #922119 писал(а):

она как раз и принуждает даже положительные на всём интервале функции быть ортогональными.

Она никак не может их принудить. Т.е. я понимаю, конечно, что тут не более чем свободный полёт мысли; но даже и в свободном полёте -- неотрицательные функции ну никак не могут оказаться ортогональными. Это для них попросту неприлично.

[ktoto]

ewert в сообщении #922136 писал(а):

Она никак не может их принудить. Т.е. я понимаю, конечно, что тут не более чем свободный полёт мысли; но даже и в свободном полёте -- неотрицательные функции ну никак не могут оказаться ортогональными. Это для них попросту неприлично.

Без веса не могут, тут я перегнул палку согласен.