Бесконечно большие функции

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Для функций

$$f(x) = \frac{2x^5+x+1}{x^4-3x^2+2}$$

и

$$g(x) = x^2 \sin \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )$$

записать главную часть вида $C(x-x_{0})^{\alpha}$ или $C x^{\alpha}$ при $x \to +\infty$, указать их порядки роста.

Мои мысли:

Главную часть $f(x)$ найдем из условия

$$\lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{f(x)}{Cx^{\alpha}} \right )=1$$

Откуда

$$C = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right ) = ... = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{2x^5+x+1}{x^{4+\alpha}-3x^{+\alpha}+2x^{\alpha}} \right ) $$

Данный предел будет конечным и отличным от нуля, если $\alpha = 1$, тогда $C=2$ и искомая главная часть имеет вид $2x$, порядок роста равен $1$.


По аналогии, для второй функции:

$$C = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{g(x)}{x^{\alpha}} \right ) = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( x^{2-\alpha} \sin \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \right ) = ... = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( x^{\frac{3}{2} - \alpha} \right )$$

Данный предел будет конечным и отличным от нуля, если $\alpha = \frac{3}{2}$, тогда $C=1$ и искомая главная часть имеет вид $x^{\frac{3}{2}}$, порядок роста равен $\frac{3}{2}$.


Подскажите, пожалуйста, мои размышления верны?

Спасибо!

[Otta]

Да, все верно. Эквивалентностями было бы шустрее.

[Limit79]

Otta
Спасибо большое!