2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Бесконечно большие функции
Сообщение19.10.2014, 23:20 
Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Для функций $$f(x) = \frac{2x^5+x+1}{x^4-3x^2+2}$$ и $$g(x) = x^2 \sin \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )$$

записать главную часть вида $C(x-x_{0})^{\alpha}$ или $C x^{\alpha}$ при $x \to +\infty$, указать их порядки роста.

Мои мысли:

Главную часть $f(x)$ найдем из условия $$\lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{f(x)}{Cx^{\alpha}} \right )=1$$

Откуда $$C = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right ) = ... = \lim\limits_{x \to + \infty} \left (  \frac{2x^5+x+1}{x^{4+\alpha}-3x^{+\alpha}+2x^{\alpha}} \right ) $$

Данный предел будет конечным и отличным от нуля, если $\alpha = 1$, тогда $C=2$ и искомая главная часть имеет вид $2x$, порядок роста равен $1$.


По аналогии, для второй функции:

$$C = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( \frac{g(x)}{x^{\alpha}} \right )  = \lim\limits_{x \to + \infty} \left (   x^{2-\alpha} \sin \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \right )  = ... = \lim\limits_{x \to + \infty} \left ( x^{\frac{3}{2} - \alpha} \right )$$

Данный предел будет конечным и отличным от нуля, если $\alpha = \frac{3}{2}$, тогда $C=1$ и искомая главная часть имеет вид $x^{\frac{3}{2}}$, порядок роста равен $\frac{3}{2}$.


Подскажите, пожалуйста, мои размышления верны?

Спасибо!

 
 
 
 Re: Бесконечно большие функции
Сообщение19.10.2014, 23:26 
Да, все верно. Эквивалентностями было бы шустрее.

 
 
 
 Re: Бесконечно большие функции
Сообщение19.10.2014, 23:29 
Otta
Спасибо большое! :-)

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group