Ротор. векторный анализ

[Munin]

chem_victory
Чем вы пишете формулы? Выбросите эту гадость.

Дроби можно набирать командой \dfrac - тогда шрифт числителя и знаменателя будет большой.
Набла набирается \nabla.
Стрелочка над буквой набирается \vec, и вообще некрасивая (в физике принято набирать полужирную букву \mathbf).
Дифференциалы писать прямыми буквами - странная мода, больше распространённая за рубежом, но если вас так приучают, то пусть...
Высоту скобок лучше регулировать самостоятельно.

Вот пример: ваша формула
$\varphi [\triangledown \times \overrightarrow{c}] = \varphi[\triangledown \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]] = \varphi(\overrightarrow{r}\operatorname{div}(\overrightarrow{k}) - \overrightarrow{k}\operatorname{div}(\overrightarrow{r})+ \left( {\vec k,\vec \nabla } \right)\vec r - \left( {\vec r,\vec \nabla } \right)\vec k) =\varphi( 0 -3\overrightarrow{k} +\overrightarrow{k} -0) = -2\varphi \overrightarrow{k} = -\frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2}$
и для сравнения руками оттайпсеттенная
$\begin{aligned}&\varphi\,[\nabla\times\vec{c}\,]=\varphi\,\bigl[\nabla\times[\vec{r}\times\vec{k}\!\;]\,\bigr]=\varphi\,\bigl(\vec{r}\operatorname{div}\vec{k}-\vec{k}\operatorname{div}\vec{r}+(\vec{k}\,\vec{\nabla})\vec{r}-(\vec{r}\,\vec{\nabla})\vec{k}\bigr)=\\&=\varphi\,(0-3\vec{k}+\vec{k}-0)=-2\varphi\vec{k}=-\dfrac{2\vec{k}(\vec{k}\vec{r})}{r\vphantom{\vec{k}}}\cdot\dfrac{1}{[\vec{r}\times\vec{k}\!\;]^2+a^2}\end{aligned}$

[Утундрий]

Кстати, забавная мысль - обозначать векторное произведение одновременно $\times$ и квадратными скобками. Такой своеобразный "двойной удар"

[Munin]

Может, в каком-то математическом учебнике так учат... мне это уже не первый раз встречается...

[chem_victory]

Утундрий в сообщении #920985 писал(а):

chem_victory в сообщении #920983 писал(а):

он нулю равен после дифирицирования

(*дифференцирования)

Отнюдь:

$$\vec \nabla \left( {\frac{{\vec r}}{r}} \right) = \frac{{\vec \nabla \vec r}}{r} - \vec r\frac{{\vec \nabla r}}{{r^2 }} = \frac{{\hat 1}}{r} - \frac{{\vec r\vec r}}{{r^3 }}, \qquad k_s \vec \nabla \left( {\frac{{x_s }}{r}} \right) = \frac{1}{r}\left( {\hat 1 - \frac{{\vec r\vec r}}{{r^2 }}} \right) \cdot \vec k \equiv \frac{{\vec k_ \bot }}{r}$$

$\vec \nabla \vec r = 3$
нет? или что обозначает $\hat 1$


я дурак - казалось что он равен нулю:

$\dfrac{d }{d \vec r} \dfrac {\vec k \vec r}{\sqrt \vec r^2} = \dfrac {\vec k \sqrt {\vec r^2} - \dfrac{(\vec k, \vec r) \vec r}{r} }{\vec r^2}= \dfrac{\vec k}{r}-\dfrac{(\vec k \vec r) \vec r}{r^3}$

-- 19.10.2014, 22:05 --

Munin в сообщении #921000 писал(а):

chem_victory
Чем вы пишете формулы? Выбросите эту гадость.

Дроби можно набирать командой \dfrac - тогда шрифт числителя и знаменателя будет большой.
Набла набирается \nabla.
Стрелочка над буквой набирается \vec, и вообще некрасивая (в физике принято набирать полужирную букву \mathbf).
Дифференциалы писать прямыми буквами - странная мода, больше распространённая за рубежом, но если вас так приучают, то пусть...
Высоту скобок лучше регулировать самостоятельно.

Вот пример: ваша формула
$\varphi [\triangledown \times \overrightarrow{c}] = \varphi[\triangledown \times [\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]] = \varphi(\overrightarrow{r}\operatorname{div}(\overrightarrow{k}) - \overrightarrow{k}\operatorname{div}(\overrightarrow{r})+ \left( {\vec k,\vec \nabla } \right)\vec r - \left( {\vec r,\vec \nabla } \right)\vec k) =\varphi( 0 -3\overrightarrow{k} +\overrightarrow{k} -0) = -2\varphi \overrightarrow{k} = -\frac{2\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r})}{r} \cdot \frac{1}{[\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{k}]^2+a^2}$
и для сравнения руками оттайпсеттенная
$\begin{aligned}&\varphi\,[\nabla\times\vec{c}\,]=\varphi\,\bigl[\nabla\times[\vec{r}\times\vec{k}\!\;]\,\bigr]=\varphi\,\bigl(\vec{r}\operatorname{div}\vec{k}-\vec{k}\operatorname{div}\vec{r}+(\vec{k}\,\vec{\nabla})\vec{r}-(\vec{r}\,\vec{\nabla})\vec{k}\bigr)=\\&=\varphi\,(0-3\vec{k}+\vec{k}-0)=-2\varphi\vec{k}=-\dfrac{2\vec{k}(\vec{k}\vec{r})}{r\vphantom{\vec{k}}}\cdot\dfrac{1}{[\vec{r}\times\vec{k}\!\;]^2+a^2}\end{aligned}$

Спасибо! Так гораздо лучше, осталось разве что руку набить.

[Утундрий]

chem_victory в сообщении #921019 писал(а):

что обозначает $\hat 1$

Единичная матрица.

[Munin]

chem_victory в сообщении #921019 писал(а):

$\vec \nabla \vec r = 3$
нет? или что обозначает $\hat 1$

Вообще-то вы правы, $\nabla\vec{r}=3.$ Но Утундрий подразумевает не дивергенцию, а градиент от вектора, который является тензором 2 ранга: $\nabla\otimes\vec{r}=\hat{1}.$ Это единичный тензор, можно посчитать как матрицу:

$$\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

А число 3 (скаляр) возникает как след этого тензора в 3-мерном пространстве.

[chem_victory]

Munin в сообщении #921025 писал(а):

chem_victory в сообщении #921019 писал(а):

$\vec \nabla \vec r = 3$
нет? или что обозначает $\hat 1$

Вообще-то вы правы, $\nabla\vec{r}=3.$ Но Утундрий подразумевает не дивергенцию, а градиент от вектора, который является тензором 2 ранга: $\nabla\otimes\vec{r}=\hat{1}.$ Это единичный тензор, можно посчитать как матрицу:

$$\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

А число 3 (скаляр) возникает как след этого тензора в 3-мерном пространстве.

О как, интересно!

Тем не менее, ответ так и не получился :(
его недьзя никак получить без тонны дифференцирования? свойства наблы потаённые какие, нет?

[Munin]

В общем, ваша $\varphi$ сама довольно развесистое выражение, которое надо дифференцировать по сомножителям, не спустя рукава.

-- 19.10.2014 22:42:28 --

chem_victory в сообщении #921030 писал(а):

его недьзя никак получить без тонны дифференцирования?

Вам задали упражнение на тонну дифференцирования. Чтобы вы дифференцировать научились. Без ошибок. И вы думаете, что это упражнение можно сделать без тонны дифференцирования? :-)

[chem_victory]

Munin в сообщении #921033 писал(а):

В общем, ваша $\varphi$ сама довольно развесистое выражение, которое надо дифференцировать по сомножителям, не спустя рукава.

-- 19.10.2014 22:42:28 --

chem_victory в сообщении #921030 писал(а):

его недьзя никак получить без тонны дифференцирования?

Вам задали упражнение на тонну дифференцирования. Чтобы вы дифференцировать научились. Без ошибок. И вы думаете, что это упражнение можно сделать без тонны дифференцирования?

okay :)
о результатах опишу завтрп.
Всем большое спасибо за участие в теме!