Конечные группы

[Felt]

Наткнулся на теорему, говорящую, что существует кольцо с $p^n$ элементами, где $p$ - любое простое число, $n$ - натуральное. Так вот, в доказательстве меня смутила следюущая вещь(привожу полностью):
Пусть $U$ - кольцо разложение многочлена $f(x)=x^{p^n}-x \in Z_{p}[x]$. $T \subset U$ - множество всех корней $f(x)$. Кроме корня 0 корни $f(x)$ это $(p^n -1)$-нные корни из единицы. Так как наибольший общий делитель $p$ и $p^n-1$ это 1, то из этого следуюет, что $f(x)$ имеет $p^n$ различных корней(раннее доказывалось, что если $m$ в многочлене вида $x^m-1$ не делится характеристикой кольца, то этот многочлен имеет ровно $m$ различных корней).
Далее, для элементов $\alpha, \beta \in T$ выполняется $(\alpha \beta^{-1})^{p^n}=\alpha \beta^{-1}$, а так же $(\alpha-\beta)^{p^n}=\alpha^{p^n}-\beta^{p^n}=\alpha-\beta$. Следовательно T является кольцом, естественно содержащим $Z_{p}$ и соответственно $T=U$, поскольку U - кольцо разложения.

Меня в данном доказательстве смущает вот эта вещь:
$(\alpha-\beta)^{p^n}=\alpha^{p^n}-\beta^{p^n}=\alpha-\beta$

Для $p > 2$ оно выполняется, но не для $p=2$, поскольку в этом случае будет
$(\alpha-\beta)^{2^n}=\alpha^{2^n}+\beta^{2^n}=\alpha+\beta$, что говорит о том, что T - не кольцо. Для 2 нужно специальное отдельное доказательство или я где-то ошибку допускаю? В доказательстве, правда, написано, что $p$ может быть любым.

[Xaositect]

В случае $p=2$ выполняется $x - y = x + y$

[Felt]

Даа.. действительно, элемент сам для себя обратный. Спасибо