Наткнулся на теорему, говорящую, что существует кольцо с

элементами, где

- любое простое число,

- натуральное. Так вот, в доказательстве меня смутила следюущая вещь(привожу полностью):
Пусть

- кольцо разложение многочлена
![$f(x)=x^{p^n}-x \in Z_{p}[x]$ $f(x)=x^{p^n}-x \in Z_{p}[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/1/e415c93a57a70748e35ed5c1388be33482.png)
.

- множество всех корней

. Кроме корня 0 корни

это

-нные корни из единицы. Так как наибольший общий делитель

и

это 1, то из этого следуюет, что

имеет

различных корней(раннее доказывалось, что если

в многочлене вида

не делится характеристикой кольца, то этот многочлен имеет ровно

различных корней).
Далее, для элементов

выполняется

, а так же

. Следовательно T является кольцом, естественно содержащим

и соответственно

, поскольку U - кольцо разложения.
Меня в данном доказательстве смущает вот эта вещь:

Для

оно выполняется, но не для

, поскольку в этом случае будет

, что говорит о том, что T - не кольцо. Для 2 нужно специальное отдельное доказательство или я где-то ошибку допускаю? В доказательстве, правда, написано, что

может быть любым.