Изоморфизмы

[main.c]

В моих лекциях было как-то написано:

Цитата:

Мы завершим рассмотрение евклидовых пространств рассмотрением линейных функций. Основной результат состоит в том, что линейные функции на евклидовом пространстве могут быть вычислены с помощью скалярного произведения. Именно, справедливо следующее.
Теорема.
Для любого вектора $x$ конечномерного евклидова пространства $V$ определим линейную функцию $\varphi_x : V \to R$ , полагая $\varphi_x(v) = (v, x)$. Тогда отображение $F: x \to \varphi_x$ - изоморфизм векторных пространств $V$ и $V^*$ .

Ну ладно, подумал я, наверняка будет пример какой-нибудь или эта теорема будет где-то использована. Но она так и затерялась. Вот мне до сих пор непонятен смысл этой теоремы. Кто-нибудь может привести пример вычисления линейной функции с помощью скалярного произведения? И вообще, как это следует из формулировки теоремы. Меня вообще крайне удивляют всяческие изоморфизмы, за всё время обучения не раз доказывалось много разных изоморфизмов. Смысл некоторых, таких как изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры квадратных матриц ясен сразу, а вот изоморфизм приведённый выше - нет. И вообще, я походу не улавливаю всю Силу изоморфизмов. Но в какой учебник не загляни, какой-нибудь изоморфизм преподносится всегда как крайне полезная штука. Ну вот есть у нас взаимно-однозначное соответвие между векторами и линейными функциями, а что дальше?

[arseniiv]

main.c в сообщении #920362 писал(а):

Ну вот есть у нас взаимно-однозначное соответвие между векторами и линейными функциями, а что дальше?

А дальше мы всегда можем применить результат насчёт одной вещи к изоморфной ей вещи.

Если знаете тензоры, то операция поднятия-опускания индексов — это как раз применение данного изоморфизма.

-- Вс окт 19, 2014 00:08:18 --

main.c в сообщении #920362 писал(а):

Кто-нибудь может привести пример вычисления линейной функции с помощью скалярного произведения? И вообще, как это следует из формулировки теоремы.

Теорема говорит, что, кроме всевозможных $\varphi_x$, других линейных функций над $V$ нет, так что по любой из них можно восстановить вектор, на который и умножать потом подопытные.

Правда, с вычислением как-то и правда непонятно выразились: для нахождения каких-нибудь координат $x$ мы должны знать координаты $\varphi_x$ в сопряжённом базисе — а если мы их знаем, $x$ никакой не нужен. По мне, формулировка в лекциях не очень…

[iifat]

Странное пишете. Зачем вам координаты в сопряжённом базисе? Это просто другая форма записи линейной функции.

[Munin]

main.c в сообщении #920362 писал(а):

Меня вообще крайне удивляют всяческие изоморфизмы, за всё время обучения не раз доказывалось много разных изоморфизмов. Смысл некоторых, таких как изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры квадратных матриц ясен сразу, а вот изоморфизм приведённый выше - нет. И вообще, я походу не улавливаю всю Силу изоморфизмов. Но в какой учебник не загляни, какой-нибудь изоморфизм преподносится всегда как крайне полезная штука. Ну вот есть у нас взаимно-однозначное соответвие между векторами и линейными функциями, а что дальше?

Смысл изоморфизмов - это обрисовывание "схемы самой математики (как области знаний)". Если у нас две вещи $A$ и $B$ изоморфны, то все факты, которые доказаны для $A,$ автоматически становятся доказаны и для $B,$ все методы, которые применяют $A,$ автоматически могут быть переформулированы как применяющие $B,$ и вообще всегда, когда математик говорит $A,$ он может подразумевать $B,$ и наоборот. Это "мостик" между разными идеями, иногда между разными областями математики. Это обогащает язык, даёт новые идеи, подходы для решения задач. Например, "мостик" между алгеброй и геометрией, позволяющий одни и те же факты излагать на алгебраическом и геометрическом языке, искать в них алгебраический и геометрический смысл. Некоторые изоморфизмы настолько давно используются в практике и очевидны, что их "две стороны" уже сливаются в сознании в какой-то единый неразделимый "двуликий" объект. Постепенно из них складывается структура математики, как целого, со взаимосвязями между разными её частями и теориями. Если вы сталкиваетесь с задачей в одной области математики, то применяете к ней инструментарий этой одной области, но по изоморфизмам, как по ассоциациям, вы можете смотреть на эти инструменты как принадлежащие другим областям, и задействовать оттуда факты и методы. И постепенно складывается то, что часто произносят: математика вся едина. В ней куда ни пойди, постепенно можно перейти от любой одной области к любой другой.

[мат-ламер]

Не знаю, в тему ли, но теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве имеет многочисленные применения в функциональном анализе.

[ktoto]

Понятие изоморфизма групп это инструмент обобщения.

мат-ламер в сообщении #920824 писал(а):

теорема Рисса

Ну да, видимо выросла из ортогональных многочленов.

[ewert]

main.c в сообщении #920362 писал(а):

Ну ладно, подумал я, наверняка будет пример какой-нибудь или эта теорема будет где-то использована. Но она так и затерялась.

А она в конечномерных пространствах не очень и нужна. Вот в бесконечномерном случае она -- и не вполне тривиальна, и принципиальна: именно на ней основано определение сопряжённого оператора. В конечномерном случае понятие сопряжённого оператора довольно банально, а вот в бесконечномерном -- отнюдь.

[arseniiv]

(2 lifat.)

iifat в сообщении #920475 писал(а):

Странное пишете. Зачем вам координаты в сопряжённом базисе? Это просто другая форма записи линейной функции.

Так я и говорю, что если мы её умеем считать, никакой изоморфизм для этого не нужен, а если не умеем — не поможет. Может, я не очень хорошо выразился… В общем, по-моему, автор лекций поставил акцент не туда.

[main.c]

Munin в сообщении #920788 писал(а):

Смысл изоморфизмов - это обрисовывание "схемы самой математики (как области знаний)". Если у нас две вещи $A$ и $B$ изоморфны, то все факты, которые доказаны для $A,$ автоматически становятся доказаны и для $B,$ все методы, которые применяют $A,$ автоматически могут быть переформулированы как применяющие $B,$ и вообще всегда, когда математик говорит $A,$ он может подразумевать $B,$ и наоборот. Это "мостик" между разными идеями, иногда между разными областями математики. Это обогащает язык, даёт новые идеи, подходы для решения задач. Например, "мостик" между алгеброй и геометрией, позволяющий одни и те же факты излагать на алгебраическом и геометрическом языке, искать в них алгебраический и геометрический смысл. Некоторые изоморфизмы настолько давно используются в практике и очевидны, что их "две стороны" уже сливаются в сознании в какой-то единый неразделимый "двуликий" объект. Постепенно из них складывается структура математики, как целого, со взаимосвязями между разными её частями и теориями. Если вы сталкиваетесь с задачей в одной области математики, то применяете к ней инструментарий этой одной области, но по изоморфизмам, как по ассоциациям, вы можете смотреть на эти инструменты как принадлежащие другим областям, и задействовать оттуда факты и методы. И постепенно складывается то, что часто произносят: математика вся едина. В ней куда ни пойди, постепенно можно перейти от любой одной области к любой другой.

Спасибо Вам за объяснения.

ewert в сообщении #920923 писал(а):

main.c в сообщении #920362 писал(а):

Ну ладно, подумал я, наверняка будет пример какой-нибудь или эта теорема будет где-то использована. Но она так и затерялась.

А она в конечномерных пространствах не очень и нужна. Вот в бесконечномерном случае она -- и не вполне тривиальна, и принципиальна: именно на ней основано определение сопряжённого оператора. В конечномерном случае понятие сопряжённого оператора довольно банально, а вот в бесконечномерном -- отнюдь.

А теория бесконечномерных векторных пространств входит в стандартный курс ВУЗовской программы на математических специальностях или нет? И вообще на каком это курсе проходят? Если не входит, то не подскажите литературу по этой теме?

[kp9r4d]

Входит, проходят на курсе функционального анализа.

[Munin]

Функциональный анализ - это и есть теория бесконечномерных векторных пространств.

[Munin]

main.c
Вспомнилось:

Munin в сообщении #875260 писал(а):

iifat в сообщении #875242 писал(а):

Между ними можно установить взаимно-однозначное отношение, но это не делает их одним и тем же


Если между чем-то можно установить взаимно-однозначное отношение, это делает их одним и тем же. Одним и тем же "абстрактным объектом", который можно рассматривать, возможно, с разных точек зрения, и выписывать различными способами. Так принято в математике.

Допустим, вы имеете нечто $a$ и $b,$ причём установили между ними изоморфизм $a\mathrel{\lefteqn{\leftarrow}\xrightarrow{\varphi}}b,$ который позволяет назвать их неким $A,\quad A\xrightarrow{\alpha}a,\quad A\xrightarrow{\beta}b.$ Дальше математика не стоит на месте: приходят новые математики, и доказывают теорему об $A.$ Можно считать её одной теоремой $T(A),$ а можно - двумя разными теоремами $T_a(a),T_b(b).$ При этом одна из них будет элементарным следствием второй, $T_b(b)=T_a(\varphi(b)).$ Дальше, новые математики вводят новые объекты, определения которых основаны на $A.$ Опять получается раздвоение: либо мы имеем один объект $c(A),$ либо две версии объекта $c_a(a),c_b(b).$ Для новых объектов доказываются новые теоремы, и так далее - и всё это либо в одной, либо в раздвоенной версии. Что удобнее?

Ситуация ещё хуже. Пусть в одной области математики мы имеем два изоморфных $a$ и $b,$ а в другой области - два изоморфных $f$ и $g,$ а в третьей - два изоморфных $k$ и $l,$ и так далее. Тогда результат, касающийся всех этих объектов, получается, должен существовать в $2^n$ версиях: $T_{afk}(a,f,k),T_{afl}(a,f,l),\ldots\mathrm{etc}.$ И хорошо, если основание двойка, а часто бывает по три и больше изоморфных представления одного и того же объекта. То же самое, если в результат входит один и тот же объект, но два раза (скажем, обсуждается отображение объекта на объект).

-- 14.06.2014 11:57:38 --

И наконец, не последнее по значению: когда вы знакомитесь с чем-то $A$ в версиях $a$ и $b,$ вам может быть удобно думать о них как о разных $a$ и $b.$ Но по мере того, как вы с ними постоянно работаете и используете, вам настолько часто приходится "переключаться" с точки зрения $a$ на $b$ и обратно, что вам становится удобнее думать о них всё-таки как об одном нечто $A.$ "Два нечто" - точка зрения новичка, "одно нечто" - точка зрения человека с опытом, профессионала.

(И разумеется, я не говорю о случае, когда между $a$ и $b$ есть какие-то тонкие различия, например, изоморфизм бывает, но не всегда. В этом случае, конечно, два понятия остаются, и профессионал их не смешивает.)