Задача по дискретной математике

[Indeed]

A - линейно упорядоченный алфавит. a - индуцированное этим порядком отношение лексикографического следования на A*. Является ли отношение a (подмножество A*•A*) рациональным?

п.с.
A* - операция итерации для множества A.
X•Y - операция умножения двух множеств.
В данной задаче у меня следующая проблема - не знаю некоторых терминов:
индуцированное, отношения лексикографического следования, линейно упорядоченный алфавит.
Потому что на лекциях такого не записывали.
Помогите кто чем может. Заранее спасибо

[Профессор Снэйп]

Линейно упорядоченный алфавит --- это алфавит (множество символов), на котором задано отношение линейного порядка. Лексикографицеский порядок --- это порядок "как в словаре": сначала сравниваем слова по первой букве, потом по второй и т. д. Если одно из слов является началом другого, то больше то, которое длиннее.

Более точно. Пусть $u = a_1\ldots a_k$ и $v = b_1 \ldots b_m$ --- слова алфавита $A$. Считаем, что

\[ u < v \Leftrightarrow (\exists i \leqslant \min\{k,m\})(a_i < b_i \mathbin{\&} (\forall j <i)(a_j=b_j)) \vee \big( k < m \mathbin{\&} (\forall i \leq k)(a_i = b_i) \big). \]

А вот что такое "рациональное отношение" --- мне неведомо. Возможно, имеется в виду свойство плотности (то есть следующее свойство: для любых $u<v$ найдётся $w$, такое что $u < w < v$). Если да, то всё зависит от того, обладает ли этим свойством изначальный порядок на $A$. Если обладает, то и индуцированный лексикографический обладает, а если нет, то нет.

Добавлено спустя 8 минут 48 секунд:

Немного не верно. Правильно будет так: индуцированный порядок является плотным тогда и тогько тогда, когда исходный порядок плотен и в нём отсутствует наименьший элемент.

[Indeed]

Профессор Снэйп писал(а):

Лексикографицеский порядок --- это порядок "как в словаре": сначала сравниваем слова по первой букве, потом по второй и т. д. Если одно из слов является началом другого, то больше то, которое длиннее.
Более точно. Пусть $u = a_1\ldots a_k$ и $v = b_1 \ldots b_m$ --- слова алфавита $A$. Считаем, что

\[ u < v \Leftrightarrow (\exists i \leqslant \min\{k,m\})(a_i < b_i \mathbin{\&} (\forall j <i)(a_j=b_j)) \vee \big( k < m \mathbin{\&} (\forall i \leq k)(a_i = b_i) \big). \]

Спасибо.
Но чем именно отличается отношение лексикографического следования от отношения лексикографического порядка. Это я и не понял. То, что это разные понятия, это точно. Так как у нас на зачете есть две разные задачи, отличающиеся только этим словом.

[PAV]

По идее, между словом и следующим за ним не должно быть ни одного построннего.

[Indeed]

Спасибо.
А кто нибудь может собственно задачу то решить? Я все равно не врубаюсь. Не люблю дискретку.

[Профессор Снэйп]

Вы хоть скажите, что такое "рациональное отношение". А то я до сих пор теряюсь в догадках.