Как ЛЛ находят $\delta x$ в когерентном состоянии?

[10110111]

В книге Ландау и Лифшица "Квантовая Механика. Нерелятивистская теория", главе "Линейный осциллятор" задаче 3 о нахождении волновых функций когерентных состояний линейного осциллятора волновая функция вида

$$\Psi(x,t)=\frac1{\sqrt[4]{2\pi}\sqrt{\delta x}}\exp\left(i\frac{\bar p x}\hbar-\frac{(x-\bar x)^2}{4(\delta x)^2}-i\varphi(t)\right)$$

подставляется в уравнение Шрёдингера для линейного осциллятора:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{m\omega^2x^2}2\Psi=i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t},$$

что в результате (с учётом $\bar p=m\dot{\bar x}(t)$ и $\dot{\bar p}=-m\omega^2\bar x$) даёт

$$\left(\frac{x^2}2-x\bar x\right)\left(\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}-\frac1{4(\delta x)^4}\right)+\left[\frac{m^2\dot{\bar x}^2}{2\hbar^2}-\frac{\bar x^2}{8(\delta x)^4}+\frac1{4(\delta x)^2}-\frac m \hbar\dot\varphi(t)\right]=0.\;\;\;(\ast)$$

Далее они говорят "Отсюда находим $(\delta x)^2=\hbar/(2m\omega)$ и затем [формула для $\dot\varphi$]".

Я попробовал втупую ввести $(\ast)$ в Mathematica и решить это уравнение относительно $(\delta x)^2$. Естественно, получаю громоздкую формулу, совершенно не похожую на то, что дано в книге. Подстановка же указанной в книге формулы зануляет только вторую скобку в $(\ast)$ (и первую умножением на нуль), противореча фразе "отсюда находим", а дальнейшая формула для $\dot\varphi$ является решением того, что остаётся после такой подстановки.

Соответственно вопрос, что имеется в виду под "отсюда находим"? Из каких вообще соображений получено выражение для $(\delta x)^2$? Ведь не через решение $(\ast)$?

[Утундрий]

Здесь две независимые переменные: $x$ и $t$. Первое слагаемое содержит обе переменные, а второе (квадратная скобка) - только $t$. Поэтому нулю они должны быть равны по отдельности.

[10110111]

Хм. Правда, они могут быть равны не только нулю, а произвольной константе. Но эта константа должна быть равна нулю, чтобы $\delta x$ не зависела от $x$, правильно я понимаю?

[Munin]

10110111 в сообщении #919823 писал(а):

Подстановка же указанной в книге формулы зануляет только вторую скобку в $(\ast)$ (и первую умножением на нуль)

Ну значит, зануляет оба слагаемых, разве не так?

[Утундрий]

10110111 в сообщении #919962 писал(а):

Но эта константа должна быть равна нулю, чтобы $\delta x$ не зависела от $x$

Когда константа не зависит от переменной, это всегда хорошо. Так что ответ - да.

Впрочем, можно и проще. Выделите слагаемые с $x^2$, $x^1$ и $x^0$ и примените к ним предыдущие рассуждения.

[10110111]

Munin в сообщении #919983 писал(а):

Ну значит, зануляет оба слагаемых, разве не так?

Нет, умножением второй скобки на первую третья не занулится. Второе слагаемое (состоящее из третьей скобки) остаётся ненулевым, из этого остатка вычисляется $\dot\varphi$.

[Munin]

А, я подумал, что вы "второй" называете квадратную.

[Утундрий]

10110111 в сообщении #920109 писал(а):

из этого остатка вычисляется $\dot\varphi$.

Которое начинает зависеть от $x$? Определённо не всё в порядке...

[10110111]

Утундрий в сообщении #920172 писал(а):

Которое начинает зависеть от $x$? Определённо не всё в порядке...

Нет, $\varphi$ — это глобальная фаза, она зависит только от $t$. В квадратной-то скобке нет $x$.