Элементарная геометрия 3

[Phaenomenon]

Shtorm в сообщении #919760 писал(а):

Phaenomenon, ну так Вы нашли верное решение?

Да, нашел. Огромнейшее спасибо всем за содействие! Однако все равно не обошлось без излишнего количества расчетов. Вот еще одна интересная задача. Пока идей вообще никаких нет.

Дан тре­уголь­ник $ABC $со сто­ро­на­ми $AB=15,AC=9,BC=12$. На сто­ро­не $BC$ взята точка $D$, а на от­рез­ке $AD$— точка $O$, при­чем $CD=4$ и $AO=3OD$. Окруж­ность с цен­тром $O$ про­хо­дит через точку $C$. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки $C$ до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой $AB$.
Если есть необходимость, могу предоставить получившейся, как мне кажется, график.

[Shtorm]

Phaenomenon в сообщении #920073 писал(а):

Однако все равно не обошлось без излишнего количества расчетов.

Ну, если бы Вы сразу написали систему из двух уравнений и затем сразу бы исключили $2xy$ из системы, то лишних бы расчётов не было.

Phaenomenon в сообщении #920073 писал(а):

могу предоставить получившейся, как мне кажется, график

Давайте.

[Munin]

Стороны треугольника указывают на то, что он прямоугольный. Это можно использовать?

[Phaenomenon]

Shtorm в сообщении #920082 писал(а):

Давайте.

Munin в сообщении #920105 писал(а):

Стороны треугольника указывают на то, что он прямоугольный. Это можно использовать?

Да, я тоже заметил, но по сути это нам мало что дает в самом начале. Конечно в дальнейшем, исходя из его сторон, мы уже можем использовать непосредственно свойства прямоугольного треугольника.

В общем, решение как таковое этой задачи у меня есть. Но мне он кардинально не нравится. Ибо в задаче все становится очевидным благодаря построениям, из которых мы выходим на высоту и медиану в рассматриваемом треугольнике. Скажите, а без излишней заморочки с построениями, возможно решить эту задачу?

[gris]

Катеты так и хочется использовать как оси системы координат. Чего-то мне кажется, что это и имел в виду Munin
Но, вероятно, есть и простое геометрическое решение. По утру и не разглядишь.

[Munin]

Да ничего я в виду не имел, задачу не смотрел, предложил наобум первый замеченный факт. Мозги были другим заняты.

[gris]

Просто это как раз такой случай, когда метод координат (самые начатки линейной алгебры) наиболее эффективен. Координаты точки $O$ вычиляются устно, уравнение гипотенузы ещё устней, и сразу же виден ответ.
Ну можно, конечно, повозиться с теоремой Пифагора, только будет то же самое по существу. Пошевелив условия задачи, а тем более отойдя от прямоугольности треугольника, мы будем получать три типа ответов, а такие дела чисто геометрически весьма занудны, а метод координат даёт общее решение.

[Phaenomenon]

gris, Метод координат? Отлично, мне нравится, с этим я более-менее знаком. Однако применение такового метода в задачах, где координат не дано, я не встречал. Вообще, возможно ли здесь вводить координатную плоскость? (прошу прощения, если вопрос покажется глупым, просто я в таких вопросах еще дилетант)

[gris]

А кто Вам запретит её ввести? В данном конкретном случае можно обойтись аккуратно сделанным чертежом, как Вы и сказали, и легко доказать то, что по чертежу видно, но вдруг в задании будет $AO:OD=1:a$? В этом случае задача становится интересной и вполне исследовательской для школьника.

При использовании системы координат задача сведётся к исследованию системы из квадратного уравнения с параметром <и двойного неравенства, если спрашивается о пересечение окружности с отрезком>. А геометрически придётся разрисовывать разные случаи, что утомительно.

[Phaenomenon]

gris, хорошо, я Вас понял. Поскольку я никогда чисто аналитическим способом планиметрические не решал, я бы очень хотел этому научиться. Я знаю, как решать задачи исходя из готовых координат (например, по векторам)? У Вас есть литература, куда я мог бы обратиться за применением такого метода в обычных планиметрических задачах? Или не составит Вам труда вместе со мной в этом разобраться?

[gris]

Погорелов "Геометрия" 8 класс. Параграф 8: "Декартовы координаты на плоскости".
Для более углубленного изученния: Марков "Метод координат и задачи с параметрами" и подобные книги.
Ну и "Линейная алгебра" в концертном исполнении.
Я же не знаю, для чего Вам понадобилось решать такие задачи.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #920853 писал(а):

Я же не знаю, для чего Вам понадобилось решать такие задачи.

Задачи таким методом. Он явно рациональнее
Спасибо, пойду читать.

[Батороев]

Phaenomenon в сообщении #920454 писал(а):

Скажите, а без излишней заморочки с построениями, возможно решить эту задачу?

Проведите горизонталь через т. $O$ и посмотрите, какую часть $CD$ она отсечет. Эта часть - половина искомой хорды.

[Phaenomenon]

Батороев в сообщении #921121 писал(а):

Проведите горизонталь через т. $O$ и посмотрите, какую часть $CD$ она отсечет. Эта часть - половина искомой хорды.

Это отрезок $CM$ и чтобы прийти к этому заключению, нужно, очевидно, это доказать. А это значит снова достраивать.

[gris]

А что это за точка $M$?
Мне кажется, что уважаемый Батороев не обратил должного вниманияна то, какую прямую хотела пересечь окружность. Если бы требовалась прямая $BC$, то он был бы безусловно прав, но хитроумный ТС задал искать пересечение с прямой $AB$