Сходимость ряда

[demolishka]

Дано $\alpha \in (-1;0), \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{\frac{1}{1-|\alpha|}} < +\infty$
Правда ли, что $| \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{\alpha}x_{n} | < +\infty$

Неравенство Гёльдера в данном случае не работает. С интегралами в похожей ситуации (на отрезке $[0;1]$) меня спасала теорема о среднем. Здесь хотелось бы свести к признаку Дирихле, но непонятно как из сходимости $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{\frac{1}{1-|\alpha|}}$ извлечь ограниченность частичных сумм $\sum\limits_{n=1}^{N}x_{n}$.

[ex-math]

Это не всегда верно. Например, если $\alpha=-\frac12$, то можно взять $x_n=\frac1{\sqrt n\ln n}$. Так что надо как минимум конкретизировать что-то об $x_n$.

[demolishka]

Спасибо за пример. В общем случае тоже подбирается нечто похожее.