2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость ряда
Сообщение16.10.2014, 21:24 
Аватара пользователя
Дано $\alpha \in (-1;0), \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{\frac{1}{1-|\alpha|}} < +\infty$
Правда ли, что $| \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{\alpha}x_{n} | < +\infty$

Неравенство Гёльдера в данном случае не работает. С интегралами в похожей ситуации (на отрезке $[0;1]$) меня спасала теорема о среднем. Здесь хотелось бы свести к признаку Дирихле, но непонятно как из сходимости $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{\frac{1}{1-|\alpha|}}$ извлечь ограниченность частичных сумм $\sum\limits_{n=1}^{N}x_{n}$.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение16.10.2014, 21:55 
Аватара пользователя
Это не всегда верно. Например, если $\alpha=-\frac12$, то можно взять $x_n=\frac1{\sqrt n\ln n}$. Так что надо как минимум конкретизировать что-то об $x_n$.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение16.10.2014, 22:23 
Аватара пользователя
Спасибо за пример. В общем случае тоже подбирается нечто похожее.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group