стандартная топология числовой прямой

[Felt]

Как доказать, что <0,1> - компактное подпространство стандартного топологического пространства веществянной прямой? У меня вышло разве что показать, что подпокрытие любого покрытия может быть счетным, что конечным - нет.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Вспомнил математический анекдот. Дорогая, ты уменя такая компактная! - Что, миниатюрная? - Нет, замкнутая и ограниченная!

[mihailm]

Felt в сообщении #919665 писал(а):

...У меня вышло разве что показать, что подпокрытие любого покрытия может быть счетным, что конечным - нет.

Покажите это

[Someone]

Felt в сообщении #919665 писал(а):

Как доказать, что <0,1> - компактное

А что означают угловые скобки?

[Felt]

mihailm в сообщении #919699 писал(а):

Felt в сообщении #919665 писал(а):

...У меня вышло разве что показать, что подпокрытие любого покрытия может быть счетным, что конечным - нет.

Покажите это

Имеем покрытие $B$
Пронумеровать все рациональные числа из этого интервала и провести алгоритм:
1) выбрать множество из покрытия, которое содержит число с порядковым номером 1.
...
i) проверить содержится ли число i в одном из множеств из пунктов j<i. В противном случае добавить новое множество из покрытия, которое содержит данное
...

Имеем покрытие $B'$, которое максимально - бесконечное счётное.
Что касается иррациональных чисел - я думал и у меня не получилось формально показать, что все иррациональные числа содержаться в $B'$, но это интуитивно понятно и я пропустил этот шаг. Что дальше - не знаю.

Someone в сообщении #919728 писал(а):

Felt в сообщении #919665 писал(а):

Как доказать, что <0,1> - компактное

А что означают угловые скобки?

Закрытый интервал.

[Someone]

Felt в сообщении #919756 писал(а):

Что касается иррациональных чисел - я думал и у меня не получилось формально показать, что все иррациональные числа содержаться в $B'$, но это интуитивно понятно и я пропустил этот шаг.

Это, вообще говоря, неверно. Поэтому доказать это нельзя, и $B'$ может не быть покрытием отрезка $\langle 0,1\rangle$.

[Felt]

Тогда как доказать, что он компактен?

[пианист]

А что, лемма Гейне-Бореля уже теперь не изучается? в стандартном курсе анализа, я имею в виду..
Попробуйте доказать от противного.

[SpBTimes]

Критерий компактности в $\mathbb{R}^n$ вроде вполне известен

[Felt]

SpBTimes в сообщении #919822 писал(а):

Критерий компактности в $\mathbb{R}^n$ вроде вполне известен

Имеете в виду что если каждая сходящаяся последовательность из закрытого множества имеет предел в этом множестве? Но это же для метрического пространства, мне интересно идти от определения компактности для топологического пространства - или что ещё более общо - доказать, что эти два определения эквивалентны, в случае если топологическое пространство индуцировано метрикой и в частности стандартная топология.

[Someone]

Felt в сообщении #919841 писал(а):

Имеете в виду что если каждая сходящаяся последовательность из закрытого множества имеет предел в этом множестве?

Нет. Критерий компактности подмножества пространства $\mathbb R^n$ сформулировал мат-ламер в виде анекдота. Но если это у Вас учебная задача, то вряд ли имеется в виду ссылка на эту теорему. Наверное, нужно доказать, исходя из определения компактности.

Ну допустим, что есть некоторое покрытие $B$ отрезка $[0,1]$ открытыми множествами. Положим $b=0$, если никакой отрезок вида $[0,b']$, где $b'\in(0,1]$, не имеет конечного покрытия элементами покрытия $B$, а в противном случае пусть

$$b=\sup\{b'\in[0,1]:\text{ отрезок }[0,b']\text{ имеет конечное покрытие элементами }B\text{ для всех }b'\in(0,b)\}.$$

1) Докажите, что $b>0$.
2) Докажите, что отрезок $[0,b]$ тоже имеет конечное подпокрытие.
3) Докажите, что $b=1$.

[Deggial]

Felt в сообщении #919665 писал(а):

<0,1>

Felt в сообщении #919756 писал(а):

i

Felt в сообщении #919756 писал(а):

j<i

Felt, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.