2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 стандартная топология числовой прямой
Сообщение16.10.2014, 20:01 
Как доказать, что <0,1> - компактное подпространство стандартного топологического пространства веществянной прямой? У меня вышло разве что показать, что подпокрытие любого покрытия может быть счетным, что конечным - нет.

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение16.10.2014, 20:06 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Вспомнил математический анекдот. Дорогая, ты уменя такая компактная! - Что, миниатюрная? - Нет, замкнутая и ограниченная!

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение16.10.2014, 21:03 
Felt в сообщении #919665 писал(а):
...У меня вышло разве что показать, что подпокрытие любого покрытия может быть счетным, что конечным - нет.
Покажите это

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение16.10.2014, 21:47 
Аватара пользователя
Felt в сообщении #919665 писал(а):
Как доказать, что <0,1> - компактное
А что означают угловые скобки?

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение16.10.2014, 22:44 
mihailm в сообщении #919699 писал(а):
Felt в сообщении #919665 писал(а):
...У меня вышло разве что показать, что подпокрытие любого покрытия может быть счетным, что конечным - нет.
Покажите это


Имеем покрытие $B$
Пронумеровать все рациональные числа из этого интервала и провести алгоритм:
1) выбрать множество из покрытия, которое содержит число с порядковым номером 1.
...
i) проверить содержится ли число i в одном из множеств из пунктов j<i. В противном случае добавить новое множество из покрытия, которое содержит данное
...

Имеем покрытие $B'$, которое максимально - бесконечное счётное.
Что касается иррациональных чисел - я думал и у меня не получилось формально показать, что все иррациональные числа содержаться в $B'$, но это интуитивно понятно и я пропустил этот шаг. Что дальше - не знаю.


Someone в сообщении #919728 писал(а):
Felt в сообщении #919665 писал(а):
Как доказать, что <0,1> - компактное
А что означают угловые скобки?


Закрытый интервал.

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение16.10.2014, 23:49 
Аватара пользователя
Felt в сообщении #919756 писал(а):
Что касается иррациональных чисел - я думал и у меня не получилось формально показать, что все иррациональные числа содержаться в $B'$, но это интуитивно понятно и я пропустил этот шаг.
Это, вообще говоря, неверно. Поэтому доказать это нельзя, и $B'$ может не быть покрытием отрезка $\langle 0,1\rangle$.

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение17.10.2014, 00:40 
Тогда как доказать, что он компактен?

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение17.10.2014, 06:49 
Аватара пользователя
А что, лемма Гейне-Бореля уже теперь не изучается? в стандартном курсе анализа, я имею в виду..
Попробуйте доказать от противного.

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение17.10.2014, 09:23 
Аватара пользователя
Критерий компактности в $\mathbb{R}^n$ вроде вполне известен

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение17.10.2014, 11:21 
SpBTimes в сообщении #919822 писал(а):
Критерий компактности в $\mathbb{R}^n$ вроде вполне известен


Имеете в виду что если каждая сходящаяся последовательность из закрытого множества имеет предел в этом множестве? Но это же для метрического пространства, мне интересно идти от определения компактности для топологического пространства - или что ещё более общо - доказать, что эти два определения эквивалентны, в случае если топологическое пространство индуцировано метрикой и в частности стандартная топология.

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение17.10.2014, 17:48 
Аватара пользователя
Felt в сообщении #919841 писал(а):
Имеете в виду что если каждая сходящаяся последовательность из закрытого множества имеет предел в этом множестве?
Нет. Критерий компактности подмножества пространства $\mathbb R^n$ сформулировал мат-ламер в виде анекдота. Но если это у Вас учебная задача, то вряд ли имеется в виду ссылка на эту теорему. Наверное, нужно доказать, исходя из определения компактности.

Ну допустим, что есть некоторое покрытие $B$ отрезка $[0,1]$ открытыми множествами. Положим $b=0$, если никакой отрезок вида $[0,b']$, где $b'\in(0,1]$, не имеет конечного покрытия элементами покрытия $B$, а в противном случае пусть $$b=\sup\{b'\in[0,1]:\text{ отрезок }[0,b']\text{ имеет конечное покрытие элементами }B\text{ для всех }b'\in(0,b)\}.$$
1) Докажите, что $b>0$.
2) Докажите, что отрезок $[0,b]$ тоже имеет конечное подпокрытие.
3) Докажите, что $b=1$.

 
 
 
 Re: стандартная топология числовой прямой
Сообщение17.10.2014, 20:25 
Аватара пользователя
 ! 
Felt в сообщении #919665 писал(а):
<0,1>
Felt в сообщении #919756 писал(а):
i
Felt в сообщении #919756 писал(а):
j<i
Felt, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group