Задача на использование теоремы Бэра

[VTV]

Решал задачи из учебника В.М. Кадеца "Курс функционального анализа". Вот такую задачу я решил:

Задача 8 (стр. 40). Пусть бесконечно дифференцируемая функция $f$ на отрезке $[0,1]$ обладает следующим свойством: для любой точки $t \in [0,1]$ существует такой номер $n=n(t)$, что $n$-я производная функции $f$ в точке $t$ равна нулю. Используя множества $A_n=\left\{t\in [0,1]:\; f^{(n)}(t)=0\right\}$ и теорему Бэра, покажите, что на некотором отрезке $[a,b]\subset [0,1]$ функция $f$ -- полином.

Здесь просто можно воспользоваться тем фактом, что некоторое $A_n$ плотно в некотором интервале и учесть, что $A_n$ -- замкнутое множество. Не могу решить следующую:

Задача 9. В условиях предыдущего упражнения покажите, что функция $f$ -- полином на всём отрезке $[0,1]$.

Здесь, по-видимому, нужно доказать, что некоторое $A_n$ всюду плотно в $[0,1]$. Подскажите, пожалуйста, как это сделать.

[Brukvalub]

VTV в сообщении #918943 писал(а):

...
Задача 9. В условиях предыдущего упражнения покажите, что функция $f$ -- полином на всём отрезке $[0,1]$.

Здесь, по-видимому, нужно доказать, что некоторое $A_n$ всюду плотно в $[0,1]$. Подскажите, пожалуйста, как это сделать.

Это известная задача, вот только решения, в котором удалось бы доказать, "что некоторое $A_n$ всюду плотно в $[0,1]$", я не встречал. Я умею доказывать данный факт с помощью довольно хитрого рассуждения "от противного".

[VTV]

Brukvalub в сообщении #918954 писал(а):

VTV в сообщении #918943 писал(а):

...
Задача 9. В условиях предыдущего упражнения покажите, что функция $f$ -- полином на всём отрезке $[0,1]$.

Здесь, по-видимому, нужно доказать, что некоторое $A_n$ всюду плотно в $[0,1]$. Подскажите, пожалуйста, как это сделать.

Это известная задача, вот только решения, в котором удалось бы доказать, "что некоторое $A_n$ всюду плотно в $[0,1]$", я не встречал. Я умею доказывать данный факт с помощью довольно хитрого рассуждения "от противного".

Можно немного подробнее?

[VTV]

Brukvalub в сообщении #918954 писал(а):

Я умею доказывать данный факт с помощью довольно хитрого рассуждения "от противного".

Позволю себе предположить, что Вы предполагаете, что полином из $[a,b]$ продолжается на $[0,1]$ к функции, которая не является полиномом, и ищете противоречие. К сожалению, такое противоречие я пока еще не нашел так, как в общем случае бесконечно дифференцируемое продолжение полинома совсем не обязано быть полиномом. Здесь условие, что для любой точки $t \in [0,1]$ существует такой номер $n=n(t)$, что $n$-я производная функции $f$ в точке $t$ равна нулю, сущесвенно, и именно с ним нужно искать противоречие.

[g______d]

http://mathoverflow.net/questions/34059 ... polynomial

[VTV]

g______d в сообщении #919307 писал(а):

http://mathoverflow.net/questions/34059/if-f-is-infinitely-differentiable-then-f-coincides-with-a-polynomial

Спасибо Вам большое!

[Brukvalub]

Я использовал три леммы:
1. Если функция не совпадает на некотором отрезке с многочленом, то это же свойств сохраняется для всех ее производных.
2. Если функция является многочленом на двух смежных отрезках, то она является многочленом на их объединении.
3. Если функция не совпадает на некотором отрезке с многочленом, то на некотором подотрезке она не имеет нулей и тоже не совпадает с многочленом.
Далее, предполагая противное оказываемому, строится система вложенных отрезков, в общей точке которой все производные функции отличны от нуля.
Кстати, сейчас обнаружил, чтоздесь эта задача уже обсуждалась, и мне кажется, что в док-ве Бураго содержится ошибка.