Лагранжиан и закон инерции

[Slav-27]

В ЛЛ-1 так выводится закон постоянства скорости свободно движущейся материальной точки в инерциальной системе отсчета:

Ее функция Лагранжа не может содержать явно ни радиус-вектора точки, ни времени, не может также зависеть от направления скорости (в силу однородности пространства и времени, изотропности пространства). Тогда она зависит только от абсолютной величины скорости: $L=L(\mathbf{v}^2)$. Из уравнений Лагранжа имеем $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=0$, т. е. $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=\operatorname{const}$ (по времени). Но поскольку $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}$ – функция только от скорости, то и $\mathbf{v}=\operatorname{const}$. –

Как постоянство скорости следует из последнего уравнения? Я понимаю, что $\frac{\partial L}{\partial(\mathbf{v}^2)}\mathbf{v}=\operatorname{const}$, т. е. направление скорости действительно постоянно (до знака). Но почему абсолютная величина скорости не может зависеть от времени? (Тогда и лагранжиан будет зависеть от времени – но не явным образом, а через посредство скорости.) Почему скорость не может зависеть от радиус-вектора?

Медведев в «Началах теоретической физики», в общем повторяя изложение ЛЛ, подобного доказательства не приводит, но принимает это изначально, исходя из общих соображений об однородности и изотропности. (Он определяет инерциальную систему отсчета как систему, в которой изначально покоившаяся свободная материальная точка остается в покое неограниченно долго, и вводит принцип относительности Галилея.)

В связи с этим интересует смысл вышеприведенного доказательства закона инерции у ЛЛ.

[warlock66613]

Slav-27 в сообщении #918970 писал(а):

Тогда и лагранжиан будет зависеть от времени – но не явным образом, а через посредство скорости

А вы обратите внимание, что в уравнении Лагранжа стоит полная производная по времени. Так что будет он явно зависеть или неявно - всё равно полная производная будет отлична от нуля.

[Slav-27]

Непонятно. По уравнениям Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$. Так как лагранжиан не зависит явно от радиус-вектора, то $\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$. Следовательно, полная производная здесь равна 0.

Но равна она 0 или не равна - а как отсюда следует, что скорость постоянна?

[fizeg]

$\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial (\mathbf{v}^2)}\mathbf{v}\Big)=\frac{\partial L}{\partial (\mathbf{v}^2)}\dot{\mathbf{v}}+2\frac{\partial^2 L}{\partial (\mathbf{v}^2)^2}\mathbf{v}(\mathbf{v},\dot{\mathbf{v}})$

-- 15.10.2014, 13:07 --

(Оффтоп)

у меня сегодня странное стремление исправлять правильные вещи

-- 15.10.2014, 13:09 --

Если неясно, как из равенства этой штуки нулю следует равенство нулю $\dot{\textbf{v}}$, рассмотрите компоненту сонаправленную $\textbf{v}$ и ей ортогональную.

[Slav-27]

Почему-то пока мне это не помогает.
Компонента $\dot{\textbf{v}}$, ортогональная $\textbf{v}$, равна 0 в силу $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}^2}\mathbf{v}=\operatorname{const}$. Обозначим касательную компоненту $\textbf{a}$:
$(\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}^2}+2\frac{\partial^2 L}{\partial(\mathbf{v}^2)^2}\mathbf{v}^2)\mathbf{a}=0$.
Если $\textbf{a}\neq 0$, то нужно $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}^2}+2\frac{\partial^2 L}{\partial(\mathbf{v}^2)^2}\mathbf{v}^2=0$. Этому уравнению удовлетворяет, например, $L=\lvert\mathbf{v}\rvert$, где $\lvert\mathbf{v}\rvert$ может быть функцией времени.
Что здесь не так?

[fizeg]

Slav-27
Это верно и в первоначальном варианте сообщения я про это было начал говорить, но после правок это уже не сохранилось. Думаю, что вы заметите, что это 1). единственный случай 2). траекторию можно задать абсолютно произвольной, за исключением, что должна выполняться упомянутая вами связь

-- 15.10.2014, 15:02 --

И предупреждая некоторые вопросы - я имею в виду, что зная координату и скорость (и любую производную вообще) в какой-то момент времени, что будет дальше предсказать нельзя

-- 15.10.2014, 15:03 --

Дойдете когда до гамильтоновой механики, попробуйте посчитать для такого лагранжиана гамильтониан

-- 15.10.2014, 15:40 --

На самом деле это аналогично релятивистской частице с произвольной параметризацией
$L=\sqrt{\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu}=\sqrt{(\dot{x^0})^2-(\dot{x^1})^2-(\dot{x^2})^2-(\dot{x^3})^2}$
Получается прямая мировая линия, которая параметризована произвольным образом.
Аналогично у вас получится прямая, по которой частица двигается с произвольной скоростью

[Slav-27]

fizeg
Я сейчас пытаюсь разобраться не столько в сути вещей, сколько в ходе рассуждений ЛЛ.
ЛЛ пишут, будто закон инерции следует из того, что частица свободна и рассматривается в инерциальной системе отсчета. Инерциальность системы отсчета у них определяется тем, что относительно нее пространство однородно и изотропно, а время однородно. Положение о том, что свободная частица в и. с. о. покоится или равномерно прямолинейно движется, они не берут из опыта, но доказывают. Я хочу понять, в чем смысл такого доказательства: ведь у нас получается, что

fizeg в сообщении #919187 писал(а):

траекторию можно задать абсолютно произвольной, за исключением, что должна выполняться упомянутая вами связь

- то есть что лагранжиан линейно зависит от модуля скорости и скорость постоянна по направлению, но по абсолютному значению может зависеть от времени как угодно.
Значит ли это, что ЛЛ предполагают больше, чем пишут, и приведенное у них доказательство постоянства скорости не имеет смысла?

[Munin]

В ЛЛ многие доказательства не совсем строгие. Это не значит, что они "не имеют смысла". Это значит, например, что они охватывают основной случай.

[Slav-27]

Я неправильно сказал, что доказательство не имеет смысла - однако ж тех, кто считает, что мы выше что-то упустили, прошу написать.
Может, я все-таки чего-то недопонимаю?

[fizeg]

Slav-27
Ландау и Лифшиц ориентируются в основном на реальные применения и у них иногда встречаются неточности. Есть кстати еще один особый случай $L(v^2)=\operatorname{const}$. Тогда вообще любая траектория подходит. В остальных случаях их рассуждения срабатывают, так что не думаю, что из-за этого стоит переживать

[Slav-27]

Вроде бы мне теперь понятно, как получить нужный вид функции Лагранжа свободной частицы.

Разумно сделать так, чтобы функция Лагранжа при переходе к другой инерциальной системе отсчета менялась не более чем на полную производную от некоей функции радиус-вектора и времени, чтобы не изменялась вариация действия. Путь эта функция $f(\mathbf{r},t)$, тогда общий вид ее полной производной по времени $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial\mathbf{r}}\mathbf{v}+\frac{\partial f}{\partial t}$, то есть производная линейно зависит от скорости (поскольку $f$ явным образом от скорости не зависит).

Следуя ЛЛ (гл. 1, п. 5), рассмотрим новую ИСО, которая движется относительно старой с малой скоростью $\mathbf{u}$. Тогда функция Лагранжа в новой системе будет $L'=L(\mathbf{v}'^2)=L(\mathbf{v}^2+2\mathbf{vu}+\mathbf{u}^2)$, и по формуле Тейлора имеем $L'=L(\mathbf{v}^2)+\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}^2}\cdot 2\mathbf{vu}+O(\mathbf{u}^2)$. Здесь нужно, чтобы 2-й член был полной производной от функции $f$. Из общего вида ее производной, который выписан выше, имеем $\frac{\partial f}{\partial\mathbf{r}}=2\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}^2}\mathbf{u}$. Левая часть не зависит от скорости, следовательно, не должна зависеть от скорости и правая часть, то есть $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}^2}$ не зависит от скорости. Значит, $L=a\mathbf{v}^2$, где $a$ не зависит ни от скорости, ни от времени, ни от положения в пространстве. Поэтому $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}=2a\mathbf{v}$, и если $\frac{\partial L}{\partial\mathbf{v}}$ - постоянный вектор, то действительно имеем $\mathbf{v}=\operatorname{const}$.

(У ЛЛ написано почти то же самое, кроме некоторых моментов, но рассуждение об изменении функции Лагранжа при переходе к другой ИСО помещено после вывода закона постоянства скорости свободной частицы.)

Имеет ли смысл вышеприведенное рассуждение и нет ли ошибок?