Производная Ли

[lv00]

Никак не могу понять, как получить формулу в координатом представлении для производной ли от 1-формы.
Вот, например, в правиле Лейбница $\mathsterling_{\xi} [\omega (\overline{W})] = (\mathsterling_{\xi} \omega) (\overline{W}) + \omega (\mathsterling_{\xi} \overline{W}) $, где $\overline{W}$ - вектор, в первом слагаемом имеется ввиду, что значение производной функции $\omega$ берется "в точке" $\overline{W}$?
Хотя пишут, что это правило Лейбница, следовательно это просто умножение...
Но тогда все равно не могу понять, откуда формула, ведь там остается $\overline{W}$.

[Oleg Zubelevich]

$L_v\omega:=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(g^t_v)_*\omega$

[lv00]

Oleg Zubelevich в сообщении #910662 писал(а):

$L_v\omega:=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(g^t_v)_*\omega$

Можно пожалуйста без непонятных пока для меня символов?
Я вот читал в книге Шутца, что формулу для 1-формы можно получить из формулы для вектора и правила Лейбница.

[Oleg Zubelevich]

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

[Vitalius]

lv00, вы тензорный анализ учили? Если да, то может быть знаете, что 1-форма это ковариантный вектор или иначе говоря - тензор 1 ранга. Обычно компоненты такого вектора в координатном базисе пишут с нижними индексами. Например так - $\omega_{i}$. Если напишу $\alpha_{ij}$, то это уже компоненты ковариантного тензора 2 ранга (ибо значащие индексы здесь 2, а не 1). Когда компоненты этого ковариантного тензора 2 ранга антисимметричны по всех двух своих индексах ($\alpha_{ij}=-\alpha_{ji}$), тогда называют его 2-форма. То, что вас интересует, это:

(1) $\mathsterling_{\xi}\omega_{i}=\sum\limits_{a=1}^n\left(\xi^{a}\frac{\partial\omega_{i}}{\partial x^{a}}+\omega_{a}\frac{\partial\xi^{a}}{\partial x^{i}}\right)$,

где $n$ размерность вашего многообразия (aka количество компонент вашего вектора, пардон 1-формы). Далее буду опускать знак суммы (согласно правило Эйнштейна о суммированием по повторяющимися верхние и нижние индексы), а частную производную для краткости буду писать с помощью запятой - типа $\frac{\partial\omega_{i}}{\partial x^{a}}\equiv \omega_{i,a}$ или $\frac{\partial\xi^{a}}{\partial x^{i}}\equiv \xi^{a}_{\ ,i}$. Для компонент Ли-производны от (контравариантного) вектора $A^{i}$, можете записать:

(2) $\mathsterling_{\xi}A^{i}=\xi^{a}A^{i}_{\ ,a}-A^{a}\xi^{i}_{\ ,a}$.

Это и есть ваша "формула для вектора". Между прочим, видно, что Ли-производная не меняет ранг тензора, ибо в (2), также как и в (1), есть только один значащий индекс $i$ (индекс $a$ немой в виде того, что по него суммируется).
Если хотите доказать (1) с помощью (2) и правило Лейбница для Ли-производной, вам понадобиться знать, что такое Ли-производная от скаляра (тензора 0 ранга). Она такова:

(3) $\mathsterling_{\xi}f=\xi^{a}f_{,a}$.

Теперь, возьмите следующего конкретного скаляра $f$:

(4) $f=A^{i}\omega_{i}$.

Согласно (3):

(5) $\mathsterling_{\xi}(A^{i}\omega_{i})=\xi^{a}(A^{i}\omega_{i})_{,a}=\xi^{a}(A^{i}_{\ ,a}\omega^{\ }_{i}+A^{i}\omega^{\ }_{i,a})$.

С другой стороны с помощью правила Лейбница для Ли-производной, можем записать:

(6) $\mathsterling_{\xi}(A^{i}\omega_{i})=(\mathsterling_{\xi}A^{i})\omega_{i}+A^{i}(\mathsterling_{\xi}\omega_{i})$.

Надеюсь видите уже как можете доказать (1)?

Вообще, формулы (1) и (2) обобщаются для Ли-производной произвольного тензора $T^{ij..}_{\ \ kl..}$:

(7) $\mathsterling_{\xi}T^{ij..}_{\ \ kl..}=\xi^{a}T^{ij..}_{\ \ kl..\ ,a}-T^{aj..}_{\ \ kl..}\xi^{i}_{\ ,a}-T^{ia..}_{\ \ kl..}\xi^{j}_{\ ,a}-...+T^{ij..}_{\ \ al..}\xi^{a}_{\ ,k}+T^{ij..}_{\ \ ka..}\xi^{a}_{\ ,l}+...$.

Эта формула доказывается так легко, как и (1), для специальных тензоров, которые являются прямым (тензорным) произведением векторов (типа $T^{ij..}_{\ \ kl..}=A^{i}B^{j}...v_{k}w_{l}...$), после чего обобщается для произвольных тензоров непосредственно.